Прямые и плоскости в пространстве

Слайд 1. Прямые и плоскости в пространстве

Геометрия, 10 класс

От взаимного расположения к сечениям

Слайд 2. Главная идея темы

В пространстве объекты могут пересекаться, быть параллельными или не иметь общей точки.

Чтобы доказать положение объектов, ищем уже известные признаки и связываем их с чертежом.

Слайд 3. Два вида параллельности

Две прямые параллельны, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Прямая параллельна плоскости, если они не имеют общих точек.

Две плоскости параллельны, если не пересекаются.

Слайд 4. Взаимное расположение двух прямых

Возможны три случая:

• пересекающиеся — имеют одну общую точку;

• параллельные — лежат в одной плоскости и не пересекаются;

• скрещивающиеся — не лежат в одной плоскости.

Слайд 5. Параллельные прямые в пространстве

• Обозначение: $a\parallel b$.

• Прямые лежат в одной плоскости.

• Общих точек нет.

• Через точку вне прямой можно провести единственную прямую, параллельную данной.

Слайд 6. «Параллельность — это не только отсутствие пересечения»

— Важно, чтобы прямые лежали в одной плоскости

Слайд 7. Теорема о трёх параллельных прямых

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой:

если $a\parallel c$ и $b\parallel c$, то $a\parallel b$.

Идея: все три прямые имеют одно направление и лежат в одной плоскости.

Слайд 8. Скрещивающиеся прямые

Прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости.

Обозначение: $a$ и $b$ — скрещивающиеся.

В прямоугольном параллелепипеде ребро верхней грани и вертикальное ребро другой грани могут быть скрещивающимися.

Слайд 9. Признак скрещивающихся прямых

Если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, которая не принадлежит первой прямой, то прямые скрещиваются.

Алгоритм: найти плоскость → проверить пересечение → сравнить точки.

Слайд 10. Прямая и плоскость

Слайд 11. Как прямая расположена относительно плоскости

Возможны три случая:

• прямая лежит в плоскости;

• пересекает плоскость в одной точке;

• параллельна плоскости.

Слайд 12. Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то данная прямая параллельна плоскости.

Если $a\not\subset \alpha$, $b\subset \alpha$ и $a\parallel b$, то $a\parallel \alpha$.

Слайд 13. Практикум: доказать $a\parallel \alpha$

Шаг 1

Шаг 2

Шаг 3

Вывод

Найти в плоскости $\alpha$ прямую $b$.

Доказать, что $a\parallel b$.

Убедиться, что $a$ не лежит в $\alpha$.

По признаку заключить: $a\parallel \alpha$.

Слайд 14. Пример доказательства

Дано: $b\subset \alpha$, $a\parallel b$, но $a$ не лежит в $\alpha$.

Требуется доказать: $a\parallel \alpha$.

Так как в плоскости $\alpha$ есть прямая $b$, параллельная прямой $a$, и сама $a$ не принадлежит плоскости, по признаку получаем $a\parallel \alpha$.

Слайд 15. Параллельные плоскости

Слайд 16. Параллельность двух плоскостей

Плоскости не имеют общих точек: $\alpha \parallel \beta$.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой, то плоскости параллельны.

Если параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, линии пересечения параллельны.

Пол и потолок комнаты — наглядная модель параллельных плоскостей.