Многогранники и пространственные изображения

Слайд 1. Многогранники и пространственные изображения

Геометрия, 10 класс

Слайд 2. Что называют многогранником

Многогранник — это геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Эти многоугольники называют гранями. Их стороны — рёбра, а концы рёбер — вершины. В каждой вершине сходятся несколько рёбер.

Слайд 3. Простейшие многогранники

Тетраэдр — многогранник с четырьмя треугольными гранями

Призма — две равные параллельные грани и боковые грани-параллелограммы

Пирамида — многоугольник-основание и треугольные боковые грани с общей вершиной

Параллелепипед — призма, основанием которой служит параллелограмм

Слайд 4. Призма и пирамида: сравнение

Имеет два равных параллельных основания.

Боковые грани соединяют соответствующие стороны оснований.

У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основаниям.

Имеет одно основание.

Все боковые грани имеют общую вершину.

Высота — перпендикуляр от вершины к плоскости основания.

Слайд 5. Как изображать пространственную фигуру

Сначала выберите видимые грани и нанесите их контуры сплошными линиями. Невидимые рёбра показывайте штриховыми линиями. Параллельные рёбра на рисунке обычно изображают параллельными. Не следует стремиться к фотографии: чертёж должен передавать взаимное расположение элементов.

Слайд 6. Изображение куба в параллельной проекции

Слайд 7. Алгоритм построения пространственного рисунка

Определите форму основания и его положение на листе.

Постройте вершины и рёбра основания.

Проведите боковые рёбра в выбранном направлении.

Отметьте видимые рёбра сплошными, невидимые — штриховыми.

Слайд 8. Почему некоторые объекты не существуют

Изображение на плоскости может выглядеть убедительно, хотя такой объект нельзя построить в пространстве. Причина — противоречие между локальными фрагментами рисунка: отдельные соединения допустимы, но все они вместе несовместимы. Такие изображения называют невозможными или несуществующими объектами.

Слайд 9. Локально правдоподобно — глобально невозможно

На небольшом участке рисунка каждое ребро и соединение может выглядеть обычным. Глаз легко принимает такую часть за фрагмент настоящего многогранника.

Если проследить рёбра по всему изображению, обнаруживается замкнутое противоречие: направление или взаимное расположение элементов не может сохраниться в едином пространстве.

Слайд 10. «Рисунок может быть непротиворечивым в каждой детали, но невозможным в целом»

— идея анализа невозможных объектов

Слайд 11. Как распознать невозможный объект

Проследите одно и то же ребро по всей фигуре

Проверьте, сохраняется ли направление параллельных рёбер

Сравните, какие грани должны быть ближе к наблюдателю

Найдите замкнутый фрагмент с несовместимыми соединениями

Попробуйте мысленно разобрать объект на реальные многогранники

Слайд 12. Схема проверки пространственного изображения

Проверяйте рисунок последовательно: сначала вершины, затем рёбра, затем грани. Если на каком-то шаге одна и та же часть должна одновременно находиться и впереди, и позади другой, изображение описывает несуществующий объект.

Слайд 13. Практическое задание

1. Изобразите прямоугольный параллелепипед и обозначьте его вершины.

2. Проведите штриховыми линиями невидимые рёбра.

3. Нарисуйте призму, у которой в основании лежит треугольник.

4. Рассмотрите изображение невозможного объекта и письменно укажите место противоречия: какое ребро или грань не может одновременно занимать обозначенное положение.

5. Объясните, почему аккуратность линий ещё не доказывает существование изображённого тела.

Слайд 14. Итоги урока

Многогранник состоит из граней, рёбер и вершин

При изображении важны видимые и невидимые элементы

Призма и пирамида различаются устройством оснований и боковых граней

Пространственный рисунок нужно проверять целиком, а не только по отдельным фрагментам

Невозможный объект содержит противоречие, которое препятствует его построению в пространстве