Аксиомы стереометрии и следствия из них

Слайд 1. Аксиомы стереометрии и следствия из них

Геометрия, 10 класс

Открытие нового знания: как задаются плоскости и доказываются пространственные утверждения

Слайд 2. Проблема изображения пространства

Рассмотрите каркасную модель куба: точки, отрезки, прямые и плоскости изображены на плоском экране.

Вопрос: почему одного рисунка недостаточно для точного описания всех отношений в пространстве?

Зафиксируйте одну трудность изображения пространства и обсудите её в паре.

Слайд 3. Актуализация: основные объекты и обозначения

• Назовите основные геометрические объекты: точка, прямая, плоскость.

• Запишите обозначения: $A\in a$ — точка $A$ принадлежит прямой $a$; $a\subset \alpha$ — прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$.

• Объясните, почему плоскость на чертеже часто изображают параллелограммом.

Слайд 4. Мини-диагностика «Верю — не верю»

Отметьте в тетради В или Н:

1) через любые три точки проходит единственная прямая;

2) через две точки проходит единственная прямая;

3) две пересекающиеся прямые определяют плоскость;

4) если точка лежит на плоскости, то любая прямая через эту точку лежит в данной плоскости.

Проверяем себя: 1 — Н; 2 — В; 3 — В; 4 — Н.

Сформулируйте затруднение: какие точные условия позволяют утверждать существование и единственность плоскости?

Слайд 5. Как задаётся плоскость?

Вопрос: если выбрать одну точку, достаточно ли её для определения плоскости? А две точки?

Вопрос: что можно утверждать о трёх точках, не лежащих на одной прямой?

Сформулируйте цель: научиться формулировать аксиомы стереометрии и применять их следствия для доказательства взаимного расположения объектов.

Слайд 6. Три аксиомы стереометрии

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.

Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Слайд 7. Следствия из аксиом

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость.

Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Каждая плоскость, проходящая через две точки прямой, содержит всю эту прямую.

Следствие получают логически из аксиом и применяют как основание рассуждения.

Слайд 8. Задание: выберите основание рассуждения

Определите, какую аксиому или следствие нужно применить:

1) через точки $A$, $B$ и $C$, не лежащие на одной прямой, проводят плоскость $\alpha$;

2) точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$, значит, прямая $AB$ лежит в $\alpha$;

3) две плоскости имеют общую точку, значит, их пересечение — прямая.

Выделите в каждом утверждении условие и вывод.

Слайд 9. Задание: применяем следствия к конфигурациям

Решите: какие данные определяют единственную плоскость — прямая и точка вне неё или две пересекающиеся прямые?

Запишите для каждого случая условие, соответствующее следствие и вывод.

Проверяем себя: прямая и точка вне неё — следствие о единственной плоскости через прямую и точку; две пересекающиеся прямые — следствие о единственной плоскости через две пересекающиеся прямые.

Слайд 10. Итоги и контроль перед выходом

• Какие три объекта определяют единственную плоскость?

• Как доказать, что прямая лежит в плоскости? Чем аксиома отличается от следствия?

• Какое условие обязательно для применения первой аксиомы?

• Домашнее задание: выучить три аксиомы и три следствия; выполнить 4 задания на выбор аксиомы или следствия.