Рациональные и иррациональные числа

Слайд 1. Рациональные и иррациональные числа

Классификация чисел и виды десятичных дробей

Слайд 2. Рациональные числа ($\mathbb{Q}$)

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m\in \mathbb{Z}$), а $n$ — натуральное число ($n\in \mathbb{N}$).

Любое целое число является рациональным, так как его можно записать со знаменателем $1$: $5=\frac{5}{1}$, $-3=-\frac{3}{1}$.

Слайд 3. Иерархия числовых множеств

- Натуральные числа ($\mathbb{N}$): $1,2,\mathrm{3...}$

- Целые числа ($\mathbb{Z}$): $...-1,0,\mathrm{1...}$

- Рациональные числа ($\mathbb{Q}$): дроби

- Иррациональные числа: $\pi ,\sqrt{2}$

- Действительные числа ($\mathbb{R}$): все вместе

Слайд 4. Конечные десятичные дроби

Любое рациональное число можно представить в виде десятичной дроби. Если разложение знаменателя несократимой дроби на простые множители содержит только числа $2$ и $5$, то дробь будет конечной.

Пример: $\frac{7}{40}=\frac{7}{2^3\cdot 5}$. Так как в знаменателе только двойки и пятерки, то $\frac{7}{40}=0,175$.

Слайд 5. Бесконечные периодические дроби

Если в разложении знаменателя на простые множители есть числа, отличные от $2$ и $5$, то дробь превращается в бесконечную периодическую десятичную дробь.

$\frac{1}{3}=0,\mathrm{333...}=0,(3)$

$\frac{5}{11}=0,\mathrm{4545...}=0,(45)$

$\frac{1}{6}=0,\mathrm{1666...}=0,1(6)$

Слайд 6. Перевод дроби в десятичный вид

Делим числитель на знаменатель «уголком» до появления остатка $0$ или повторения остатков.

Если остаток стал равен $0$, мы получили конечную десятичную дробь.

Если остатки начали циклически повторяться, мы получили периодическую дробь.

Слайд 7. Иррациональные числа

Это числа, которые нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$.

В десятичной записи это бесконечные непериодические дроби.

Примеры: $\sqrt{2}\approx 1,\mathrm{4142...}$, $\pi \approx 3,\mathrm{1415...}$, $e\approx 2,\mathrm{7182...}$

Их невозможно записать в виде периода.

Слайд 8. Сравнение видов дробей

Главное отличие: рациональные числа всегда имеют закономерность (конечны или цикличны), а иррациональные — хаотичны и бесконечны.

Слайд 9. Действительные числа ($\mathbb{R}$)

Множество $\mathbb{R}$ состоит из всех рациональных и всех иррациональных чисел.

Каждой точке на числовой прямой соответствует ровно одно действительное число.

Между любыми двумя различными числами находится бесконечно много других чисел.

Результат сложения или умножения иррационального и рационального числа всегда иррационален.

Слайд 10. Подведем итоги

Рациональные числа ($\mathbb{Q}$) — это конечные или периодические дроби.

Иррациональные числа — бесконечные непериодические дроби.

Вместе они образуют множество действительных чисел ($\mathbb{R}$).

Любое число на координатной прямой является действительным.

Знание этих категорий необходимо для решения уравнений и работы с корнями.