Квадратный корень

Слайд 1. Квадратный корень: от теории к практике

Алгебра, 9 класс. Полный курс: свойства, функции и уравнения

Слайд 2. Что такое квадратный корень?

Квадратным корнем из числа $a$ называется число, квадрат которого равен $a$.

Например, для числа $16$ корнями являются $4$ и $-4$, так как:

$4^2=16$ и $(-4{)}^2=16$.

Важно: не путайте это с *арифметическим* корнем $\sqrt{a}$, который всегда неотрицателен!

Слайд 3. Арифметический квадратный корень

Это неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.

Обозначение: $\sqrt{a}$

Условия существования:

1. $a\ge 0$ (подкоренное выражение)

2. $\sqrt{a}=b\Rightarrow b\ge 0$ и $b^2=a$

Слайд 4. Важнейшее тождество

$\sqrt{a^2}=|a|$

Корень из квадрата числа равен модулю этого числа. Это позволяет извлекать корень из отрицательных оснований в квадрате.

$\sqrt{7^2}=7$

$\sqrt{(-5{)}^2}=|-5|=5$

$\sqrt{x^2}=|x|$

Слайд 5. Задание 1: Вычисления

Вычислите значения выражений:

1. $\sqrt{121}$

2. $\sqrt{0,04}$

3. $\sqrt{2\frac{14}{25}}$

4. $0,5\cdot \sqrt{400}+\frac{1}{3}\cdot \sqrt{81}$

Слайд 6. Свойства арифметического корня

Примеры:

1. $\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{9}=2\cdot 3=6$

2. $\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}=\frac{5}{4}=1,25$

3. $(\sqrt{3}{)}^4=\sqrt{3^4}=\sqrt{81}=9$

Слайд 7. Вынесение множителя из-под корня

Если подкоренное выражение содержит множитель, являющийся полным квадратом, его можно вынести за знак корня.

Пример 1: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{36}\cdot \sqrt{2}=6\sqrt{2}$.

Слайд 8. Внесение множителя под корень

Для сравнения чисел или упрощения выражений часто требуется обратная операция.

Пример:

$3\sqrt{5}=\sqrt{3^2\cdot 5}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{45}$.

Помните: вносить можно только положительные числа!

Слайд 9. Задание 2: Преобразования

Выполните действия:

1. Вынесите множитель: $\sqrt{50}$, $\sqrt{108}$, $\sqrt{20a^2}$

2. Внесите множитель: $2\sqrt{7}$, $-3\sqrt{2}$, $a\sqrt{5}$ (при $a>0$)

3. Сравните: $4\sqrt{3}$ и $3\sqrt{5}$

Слайд 10. Иррациональные уравнения вида $\sqrt{f(x)}=g(x)$

Слайд 11. Решение уравнения $\sqrt{f(x)}=a$

Если $a>0$, то $f(x)=a^2$

Если $a=0$, то $f(x)=0$

Если $a<0$, то корней нет, так как $\sqrt{f(x)}\ge 0$

$\sqrt{x}=5$

$x=5^2$

$x=25$

Слайд 12. Алгоритм решения $\sqrt{f(x)}=g(x)$

1. Установить ОДЗ или условие $g(x)\ge 0$.

2. Возвести обе части уравнения в квадрат: $f(x)=(g(x){)}^2$.

3. Решить полученное уравнение.

4. Выполнить проверку корней.

Пример: $\sqrt{x+1}=x-1$

$(x+1)=(x-1{)}^2$

$x+1=x^2-2x+1$

$x^2-3x=0\Rightarrow x=0$ или $x=3$.

Проверка: $x=3$ подходит, $x=0$ — нет.

Слайд 13. Задание 3: Уравнения

Решите уравнения:

1. $\sqrt{x}=9$

2. $\sqrt{x+2}=5$

3. $\sqrt{3x-2}=x$

4. $\sqrt{x^2-5}=2$

5. $\sqrt{x+1}=-1$ (будьте внимательны!)

Слайд 14. График функции $y=\sqrt{x}$

Слайд 15. Свойства функции $y=\sqrt{x}$

$D(f):x\in [0;+\infty )$

Корень можно извлечь только из неотрицательного числа. Поэтому график начинается от нуля и уходит вправо.

$E(f):y\in [0;+\infty )$

Результат извлечения корня всегда неотрицателен. График лежит не ниже оси $Ox$.

Функция возрастает на всей области определения: чем больше $x$, тем больше значение $\sqrt{x}$.

График — это ветвь параболы, направленная вправо. Проходит через точки $(0;0)$, $(1;1)$, $(4;2)$.

Слайд 16. Итоги урока

Арифметический корень всегда неотрицателен: $\sqrt{a}\ge 0$.

Используйте свойство $\sqrt{a^2}=|a|$ для упрощения.

При решении уравнений $x^2=a$ всегда проверяйте знак $a$.

В иррациональных уравнениях обязательна проверка корней.

График $y=\sqrt{x}$ — это «половинка» параболы, лежащая на боку.