Построение квадратичной функции

Слайд 1. Построение квадратичной функции

Алгебра, 9 класс. От параболы $y=a{x}^2$ к общему виду графика

Слайд 2. Что такое квадратичная функция?

Функция вида $y=a{x}^2+bx+c$, где $a,b,c$ — некоторые числа, причем $a\ne 0$, называется квадратичной.

Графиком такой функции всегда является парабола. Положение её ветвей и положение вершины зависят от коэффициентов.

Слайд 3. Базовый график: $y=x^2$

Слайд 4. Влияние коэффициента $a$

Если $a>0$, парабола «улыбается». Чем больше $|a|$, тем «ближе» график прижат к оси $y$.

Если $a<0$, парабола «грустит». График является зеркальным отражением относительно оси $x$.

Слайд 5. Сдвиг вдоль оси $y$ (вертикальный)

График $y=a{x}^2+n$ получается из $y=a{x}^2$:

• Сдвигом вверх на $n$ единиц, если $n>0$

• Сдвигом вниз на $|n|$ единиц, если $n<0$

Координаты вершины: $(0;n)$

Слайд 6. Сдвиг вдоль оси $x$ (горизонтальный)

График $y=a(x-m{)}^2$ получается из $y=a{x}^2$:

• Сдвигом вправо на $m$ единиц, если $m>0$

• Сдвигом влево на $|m|$ единиц, если $m<0$

Координаты вершины: $(m;0)$

Слайд 7. Комбинированный перенос

Функция $y=a(x-m{)}^2+n$ — это парабола $y=a{x}^2$, вершина которой перенесена в точку $(m;n)$.

Это самый быстрый способ построения: достаточно найти координаты вершины и построить стандартный шаблон параболы от новой точки.

Слайд 8. Алгоритм построения

Найти координаты вершины параболы $(x_0;y_0)$ и отметить её на плоскости.

Провести ось симметрии параболы — прямую $x=x_0$.

Вычислить значения в 2-3 точках справа от вершины и отобразить их симметрично.

Слайд 9. Расчет координат вершины

Если функция задана в общем виде $y=a{x}^2+bx+c$, то координаты вершины $(x_0;y_0)$ вычисляются так:

1. Абсцисса: $x_0=-\frac{b}{2a}$

2. Ордината: $y_0=f(x_0)=a{x}_0^2+b{x}_0+c$

Точка $(x_0;y_0)$ — самая высокая или самая низкая точка графика.

Слайд 10. Ось симметрии параболы

Парабола всегда симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через вершину.

Уравнение оси симметрии: $x=-\frac{b}{2a}$.

Это свойство помогает избежать лишних расчетов: нашли точку $(x_0+1;y_1)$, значит точка $(x_0-1;y_1)$ тоже лежит на графике.

Слайд 11. Пример расчета точек

Для функции $y=x^2-2x-3$:

1. $x_0=-(-2)/(2\cdot 1)=1$

2. $y_0=1^2-2\cdot 1-3=-4$

Вершина: $(1;-4)$. Точки $x=0$ и $x=2$ симметричны относительно $x=1$.

Слайд 12. На что обратить внимание

С осью $y$ это всегда $(0;c)$. С осью $x$ — корни уравнения $a{x}^2+bx+c=0$.

Если $D<0$, парабола не пересекает ось $x$ (лежит целиком выше или ниже).

Если $a$ дробное (напр. $0.2$), парабола будет очень широкой — берите шаг по $x$ больше.

Соединяйте точки плавной кривой, а не ломаной линией. В вершине график закруглен.

Слайд 13. Математика — это язык, на котором написана книга природы.

— Галилео Галилей

Слайд 14. Практическое задание

Попробуйте самостоятельно построить график функции $y=-(x+2{)}^2+3$.

Вопросы для самопроверки:

1. Куда направлены ветви?

2. Каковы координаты вершины?

3. В какой точке график пересекает ось $Oy$?

4. Как этот график получен из $y=-x^2$?

Слайд 15. Итоги урока

График квадратичной функции — парабола с вершиной в $(x_0;y_0)$.

Коэффициент $a$ определяет направление ветвей и «ширину» параболы.

Параметры $m$ и $n$ в формуле $y=a(x-m{)}^2+n$ — это координаты вершины.

Использование симметрии вдвое сокращает время на расчет таблицы значений.

Всегда начинайте построение с определения координат вершины.