Квадратные неравенства и метод интервалов

Слайд 1. Квадратные неравенства и метод интервалов

Алгебра, 9 класс: учимся решать быстро и правильно

Слайд 2. Что такое квадратное неравенство?

Это неравенство вида $a{x}^2+bx+c>0$ (или $<,\ge ,\le$), где $x$ — переменная, $a,b,c$ — некоторые числа, причем $a\ne 0$.

Решить такое неравенство — значит найти все значения переменной, при которых данное высказывание становится истинным.

Слайд 3. Два подхода к решению

Мы представляем левую часть как функцию $y=a{x}^2+bx+c$. Строим эскиз параболы и смотрим, какие её части лежат выше или ниже оси $Ox$.

Универсальный и мощный алгоритм. Мы находим корни уравнения, отмечаем их на прямой и определяем знаки выражения на получившихся промежутках.

Слайд 4. Алгоритм метода интервалов

Приравнять выражение к нулю и найти корни квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$.

Отметить полученные корни на числовой оси $Ox$, разбив её на интервалы.

Определить знак на каждом интервале и выбрать те, что соответствуют знаку неравенства.

Слайд 5. Строгость имеет значение

Важно помнить: бесконечность всегда ограничивается круглой скобкой, так как это не конкретное число, которое можно «включить» в интервал.

Слайд 6. Как расставлять знаки?

1. Определите знак в крайнем правом интервале (он совпадает со знаком коэффициента $a$)

2. Если корни не повторяются, знаки будут чередоваться: $+$, $-$, $+$

3. Если есть кратные корни (дискриминант $D=0$), знак при переходе через точку может не измениться

Слайд 7. Визуализация: Парабола и Интервалы

Слайд 8. Пример: $x^2-5x+6>0$

Решаем $x^2-5x+6=0$. По теореме Виета: $x_1=2,x_2=3$.

Рисуем прямую, отмечаем пустые точки $2$ и $3$. Получаем три интервала.

$a=1>0$, значит справа $+$. Итог: $(+)$ , $(-)$ , $(+)$.

Нам нужно $>0$. Ответ: $x\in (-\infty ;2)\cup (3;+\infty )$.

Слайд 9. Если перед $x^2$ стоит минус, первым делом умножьте всё неравенство на $-1$ и поменяйте знак самого неравенства. Это избавит вас от 90% ошибок в знаках.

— Совет опытного математика

Слайд 10. Главные выводы урока

Квадратное неравенство решается через поиск корней уравнения

Метод интервалов — самый надежный способ для 9 класса

Внимательно следите за строгостью знака ($>$ vs $\ge$)

Всегда делайте проверку знака в одном из интервалов, подставив любое число