Арифметический квадратный корень

Слайд 1. Арифметический квадратный корень

Повторение курса 8 класса по учебнику Ю.Н. Макарычева

Слайд 2. Определение и условия

Арифметическим квадратным корнем из числа $a$ называется неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.

Ключевые условия:

1. $\sqrt{a}=b$, если $b^2=a$ и $b\ge 0$.

2. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a\ge 0$.

3. Результат извлечения корня всегда неотрицателен.

Слайд 3. Два важных тождества

Для любого $a\ge 0$ верно:

$(\sqrt{a}{)}^2=a$

Пример:

$(\sqrt{7}{)}^2=7$

$(\sqrt{0,5}{)}^2=0,5$

Для любого $a$ верно:

$\sqrt{a^2}=|a|$

Пример:

$\sqrt{(-5{)}^2}=|-5|=5$

$\sqrt{3^2}=|3|=3$

Слайд 4. Свойства корней

Корень из произведения: $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$ (при $a\ge 0,b\ge 0$)

Корень из дроби: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (при $a\ge 0,b>0$)

Корень из степени: $\sqrt{a^{2k}}=|a^k|$

Умножение корней: $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{16}=4$

Слайд 5. Алгоритм извлечения множителя

Чтобы вынести множитель из-под знака корня, нужно представить подкоренное выражение в виде произведения, один из множителей которого является точным квадратом.

Слайд 6. График функции $y=\sqrt{x}$

Слайд 7. Преобразование выражений

$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$

$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$

$2\sqrt{5}=\sqrt{2^2\cdot 5}=\sqrt{20}$

$10\sqrt{a}=\sqrt{100a}$

$\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$

$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$

Слайд 8. Сравнение иррациональных чисел

Слайд 9. Задания для самопроверки

1. Вычислите значение выражения: $\sqrt{0,25\cdot 64}$

2. Упростите выражение: $5\sqrt{2}+\sqrt{32}-\sqrt{50}$

3. Решите уравнение: $x^2=11$

4. Найдите область определения функции: $y=\sqrt{2x-10}$

5. Сравните числа: $\frac{1}{2}\sqrt{12}$ и $\frac{1}{3}\sqrt{27}$

Слайд 10. Итоги повторения

Квадратный корень существует только для неотрицательных чисел.

Главное тождество: $\sqrt{a^2}=|a|$.

Свойства произведения и дроби позволяют упрощать сложные вычисления.

График $y=\sqrt{x}$ — это кривая, выходящая из начала координат в первую четверть.

Навыки вынесения и внесения множителя критически важны для решения уравнений.