Числовые последовательности и прогрессии

Слайд 1. Числовые последовательности и прогрессии

Алгебра, 9 класс. От простых списков чисел до формул сложных процентов.

Слайд 2. Понятие последовательности

Числовая последовательность — это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Каждому числу $n$ ставится в соответствие число $a_n$.

Примеры:

1. Последовательность квадратов: $1,4,9,16,\dots$

2. Последовательность нечётных чисел: $1,3,5,7,\dots$

Слайд 3. Способы задания

Словесный — описание правил формирования.

Аналитический — формула $n$-го члена $a_n=f(n)$.

Рекуррентный — каждый член выражается через предыдущие.

Графический — в виде точек на координатной плоскости.

Слайд 4. Арифметическая прогрессия

Последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным числом $d$ (разностью).

$5,8,11,14,\dots$

Здесь первый член $a_1=5$, а разность $d=3$.

Слайд 5. Формулы арифметической прогрессии

Слайд 6. Геометрическая прогрессия

Последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное число $q$ (знаменатель).

Пример: $2,6,18,54,\dots$

Здесь $b_1=2$, а знаменатель $q=3$.

Слайд 7. Формулы геометрической прогрессии

Слайд 8. Алгоритм решения задач

Шаг 1

Шаг 2

Шаг 3

Определить вид прогрессии по условию.

Выписать известные элементы ($a_1,d$ или $b_1,q$).

Выбрать формулу и составить уравнение.

Слайд 9. Сложные проценты

Применение геометрической прогрессии в финансах. Если сумма $S_0$ увеличивается на $p$ ежегодно, то через $n$ лет она составит:

$S_n=S_0\cdot (1+\frac{p}{100}{)}^n$

Здесь $(1+\frac{p}{100})$ выступает в роли знаменателя прогрессии $q$.

Слайд 10. Итоги занятия

Последовательность — это пронумерованный числовой ряд.

Арифметическая прогрессия растет линейно через сложение.

Геометрическая прогрессия растет экспоненциально через умножение.

Формула сложных процентов — ключ к пониманию банковских вкладов.

Знание характеристических свойств помогает находить пропущенные члены ряда.