Погрешность и точность приближения

Слайд 1. Погрешность и точность приближения

Алгебра, 9 класс: как оценивать ошибки измерений и вычислений

Слайд 2. Зачем нужны приближённые значения?

В реальном мире мы редко имеем дело с абсолютно точными числами. Рост человека, расстояние между городами или масса яблока — всё это измеряется с какой-то долей неточности.

Приближённым значением числа $x$ называют число $a$, которое заменяет его с определённой точностью. Разница между ними и есть погрешность.

Слайд 3. Абсолютная погрешность

Абсолютная погрешность — это модуль разности между точным значением $x$ и приближённым $a$.

Формула: $\Delta =|x-a|$

Она показывает, на сколько единиц измерения мы «промахнулись».

Пример: если вместо $100$ см мы намерили $102$ см, погрешность равна $|100-102|=2$ см.

Слайд 4. Точность приближения

Часто мы не знаем точное $x$, но знаем, что ошибка не превышает числа $h$. Тогда $|x-a|\le h$. Число $h$ называют точностью приближения.

В этом случае пишут: $x=a\pm h$. Это означает, что истинное значение лежит в границах: $a-h\le x\le a+h$.

Слайд 5. Относительная погрешность

Представьте: ошибка в $1$ см при измерении карандаша — это катастрофа, а при измерении длины шоссе — пустяк.

Относительная погрешность $\epsilon$ — это отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения:

$$\epsilon =\frac{\Delta }{|a|}\cdot 100\%$$

Она позволяет сравнить качество разных измерений.

Слайд 6. Алгоритм вычисления погрешностей

1. Найдите разность $x-a$.

2. Возьмите модуль этой разности (абсолютная погрешность).

3. Разделите результат на $|a|$.

4. Переведите в проценты, если нужно.

Слайд 7. Пример: Измерение массы

Обратите внимание: хотя у арбуза и кольца абсолютная погрешность одинакова ($0,1$ г/кг), измерение вагона является самым точным, так как его относительная погрешность минимальна.

Слайд 8. Правила округления

Если следующая цифра меньше 5, последнюю сохраняемую цифру не меняем.

Если следующая цифра 5 или больше, последнюю сохраняемую цифру увеличиваем на 1.

$3,14\approx 3$. Ошибка составляет $|3,14-3|=0,14$.

$3,14\approx 3,1$. Ошибка составляет $|3,14-3,1|=0,04$.

Слайд 9. Практическое задание

Определите абсолютную и относительную погрешность:

1. Ученик измерил длину парты. Получил $120$ см. Точное значение — $120,5$ см.

2. В рецепте указано $250$ г муки, весы показали $245$ г.

3. Округлите число $\pi \approx 3,14159$ до тысячных и найдите абсолютную погрешность.

4. Сравните точность: ошибка $1$ мм при длине $10$ см или $1$ см при длине $1$ м?

Слайд 10. Подведем итоги

Абсолютная погрешность $|x-a|$ показывает величину отклонения в единицах измерения.

Относительная погрешность $\frac{\Delta }{|a|}$ показывает качество измерения в процентах.

Чем меньше относительная погрешность, тем точнее выполнено измерение.

Запись $x=a\pm h$ задает границы, в которых находится истинное значение.

Точность важна в науке, строительстве и медицине.