Геометрическая прогрессия

Слайд 1. Геометрическая прогрессия

Алгебра, 9 класс

Как меняются величины, если каждый раз умножать на одно и то же число

Слайд 2. Главная идея

Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число.

Это число называют знаменателем прогрессии и обозначают буквой $q$.

Слайд 3. Арифметическая и геометрическая прогрессии

Каждый раз прибавляют одно и то же число.

Пример: $3,7,11,15$.

Разность: $d=4$.

Каждый раз умножают на одно и то же число.

Пример: $3,6,12,24$.

Знаменатель: $q=2$.

Слайд 4. Как распознать прогрессию

Чтобы проверить, является ли последовательность геометрической, разделите каждый член на предыдущий.

Если частное постоянно, перед нами геометрическая прогрессия:

$a_{n+1}:a_n=q$.

Слайд 5. Основные обозначения

$a_1$ — первый член прогрессии

$a_n$ — член с номером $n$

$q$ — знаменатель прогрессии

$n$ — номер члена

$b_1,b_2,b_3,\dots$ — запись последовательности

Слайд 6. Формула $n$-го члена

Чтобы найти любой член геометрической прогрессии, используют формулу:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$.

Степень $n-1$ показывает, сколько раз первый член умножили на $q$.

Например, для пятого члена: $a_5=a_1\cdot q^4$.

Слайд 7. Разбор задачи: найдём член прогрессии

Дана прогрессия: $2,6,18,\dots$.

Найдём $a_6$.

1. $a_1=2$.

2. $q=6:2=3$.

3. Подставим в формулу:

$a_6=2\cdot 3^5=486$.

Ответ: $486$.

Слайд 8. Геометрическая прогрессия в жизни

Слайд 9. Практические примеры

Сумма на счёте может увеличиваться за счёт начисления процентов.

При каждом отскоке мяч поднимается примерно на одну и ту же долю предыдущей высоты.

При благоприятных условиях число клеток может увеличиваться в несколько раз за равные промежутки времени.

Масштабирование изображения или сигнала может выполняться с постоянным коэффициентом.

Слайд 10. Что происходит при разных значениях $q$

Если $q>1$, модули членов обычно увеличиваются.

Пример: $2,6,18,54$.

Если $0<q<1$, модули членов уменьшаются.

Пример: $81,27,9,3$.

Если $q<0$, знаки членов чередуются.

Слайд 11. Сумма первых $n$ членов

Сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии обозначают $S_n$.

Если $q\ne 1$, то:

$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$.

Та же формула может быть записана так:

$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$.

Слайд 12. Разбор задачи: сумма первых членов

Найдём сумму первых четырёх членов прогрессии $3,6,12,\dots$.

$a_1=3$, $q=2$, $n=4$.

$S_4=\frac{3(2^4-1)}{2-1}=3\cdot 15=45$.

Проверка: $3+6+12+24=45$.

Слайд 13. Алгоритм решения задач

1. Выпишите первый член $a_1$.

2. Найдите знаменатель $q$.

3. Определите, что требуется: $a_n$ или $S_n$.

4. Выберите нужную формулу.

5. Подставьте данные и проверьте ответ.

Слайд 14. Практическая задача: скидка

Цена товара каждый месяц уменьшается в $2$ раза. Изначально она равна $1600$ рублей.

Цена через три месяца:

$a_4=1600\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3=200$.

Ответ: $200$ рублей.

Здесь $q=\frac{1}{2}$.

Слайд 15. Задача о мяче

Старт

1-й отскок

2-й отскок

3-й отскок

Мяч отпустили с высоты $4$ м.

Высота стала $2$ м, то есть умножилась на $q=\frac{1}{2}$.

Высота стала $1$ м.

Высота стала $0,5$ м.

Слайд 16. «Ищи постоянный множитель»

— Главный вопрос при работе с последовательностью

Слайд 17. Мини-практикум

Определите $q$ для последовательности $5,15,45,\dots$.

Найдите $a_5$, если $a_1=4$ и $q=2$.

Найдите $S_4$ для прогрессии $1,3,9,\dots$.

Слайд 18. Проверь себя

Верно ли утверждение?

«Последовательность $2,4,8,16$ является геометрической прогрессией».

Объясните ответ через отношение соседних членов.

Дополнительный вопрос: чему равен её знаменатель?

Слайд 19. Итоги урока

Геометрическая прогрессия строится умножением на постоянное число $q$.

Формула $n$-го члена: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$.

Сумма первых $n$ членов: $S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ при $q\ne 1$.

Значение $q$ помогает понять, растут или уменьшаются члены.

Алгоритм решения: найти данные, выбрать формулу, подставить, проверить.

Слайд 20. Спасибо за внимание!