Функции и их свойства

Слайд 1. Функции и их свойства

Алгебра, 9 класс

Слайд 2. Что такое функция?

Функция — это правило, которое каждому допустимому значению аргумента $x$ ставит в соответствие единственное значение $y$.

Запись $y=f(x)$ означает: значение $y$ зависит от выбранного $x$.

$x$ называют аргументом, а $y$ — значением функции.

Слайд 3. Область определения и область значений

Область определения — все значения $x$, которые можно подставить в формулу.

Область значений — все значения $y$, которые получает функция, при x∈D(f)

Пример: для функции $y=\frac{1}{x}$ нельзя брать $x=0$, потому что деление на ноль невозможно. Поэтому область определения: все действительные числа, кроме нуля.

Слайд 4. График функции

Слайд 5. Основные свойства функции

Функция возрастает на промежутке, если при увеличении $x$ значения $y$ увеличиваются.

Функция убывает, если при увеличении $x$ значения $y$ уменьшаются.

Нуль функции — значение аргумента, при котором $f(x)=0$.

На графике нули функции — точки пересечения с осью $x$.

Слайд 6. Чётность функции

Функция чётная, если выполняется равенство

$f(-x)=f(x)$.

Её график симметричен относительно оси $y$.

Функция нечётная, если $f(-x)=-f(x)$.

Её график симметричен относительно начала координат.

Примеры: $y=x^2$ — чётная функция, $y=x^3$ — нечётная.

Слайд 7. Как исследовать функцию?

Удобный порядок исследования:

1. Найти область определения.

2. Найти область значений

3. Выяснить чётность или нечётность.

4. Выяснить монотонность (промежутки возрастания и убывания)

5. Определить нули функции и точки пересечения с осями.

6. Определить знакопостоянства

7. Построить график.

Слайд 8. Пример исследования функции по пунктам

Функция: $y=x^2-4x+3$ — это квадратичная функция, её график является параболой, ветви направлены вверх.

Область определения: $x\in \mathbb{R}$, потому что квадрат любого действительного числа имеет смысл.

Нули функции: решаем $x^2-4x+3=0$ и получаем $x_1=1$, $x_2=3$. График пересекает ось $Ox$ в точках $(1;0)$ и $(3;0)$.

Вершина: $x_{\text{в}}=2$, $y_{\text{в}}=-1$, поэтому вершина имеет координаты $(2;-1)$а ось симметрии — прямая $x=2$.,

Знак функции: $y>0$ при $x<1$ и $x>3$; $y<0$ при $1<x<3$. Минимальное значение функции равно $-1$.

Итог: ветви направлены вверх, область значений — $y\ge -1$, функция убывает на $(-\infty ;2]$ и возрастает на $[2;+\infty )$

Слайд 9. Распространённые ошибки при работе с функциями

• Область определения и область значений — не одно и то же: первая показывает допустимые значения $x$,

вторая — получающиеся значения $y$.

• Координаты точки читают в порядке $(x;y)$: сначала движение по горизонтали, затем по вертикали. Например, точка $A(2;3)$ имеет абсциссу $2$ и ординату $3$.

• Чётность нельзя определять «на глаз»: нужно проверить, что область определения симметрична относительно нуля и для каждого допустимого $x$ выполняется $f(-x)=f(x)$.

• При исследовании функции сначала учитывают ограничения: знаменатель не равен нулю, выражение под корнем чётной степени неотрицательно.

• Полезная проверка: выпишите допустимые $x$, подставьте несколько значений и сравните выводы с графиком.