Дробно-рациональные неравенства

Слайд 1. Дробно-рациональные неравенства: метод интервалов

Алгебра, 9 класс

Слайд 2. Что называют дробно-рациональным неравенством

Дробно-рациональное неравенство содержит дробь, в числителе или знаменателе которой есть переменная. Например: $\frac{x-2}{x+1}>0$.

Главная особенность: знаменатель не может быть равен нулю. Поэтому сначала находим область допустимых значений и исключаем точки, обращающие знаменатель в ноль.

Слайд 3. Алгоритм метода интервалов

1. Перенесите все выражения в левую часть.

2. Приведите дробь к произведению множителей в числителе и знаменателе.

3. Найдите нули числителя и знаменателя.

4. Отметьте точки на числовой прямой и разбейте её на интервалы.

5. Определите знак выражения на каждом интервале.

6. Выберите интервалы, где знак соответствует условию.

7. Запишите ответ с учётом точек, запрещённых знаменателем.

Слайд 4. Пример 1. Линейная дробь

Решим неравенство $\frac{x-2}{x+1}>0$.

Критические точки: $x=2$ — нуль числителя; $x=-1$ — нуль знаменателя. Точка $x=-1$ исключается из области допустимых значений.

На интервале $(-\infty ;-1)$ дробь положительна, на $(-1;2)$ отрицательна, на $(2;+\infty )$ положительна. Так как требуется знак «плюс», выбираем положительные интервалы. Точку $x=2$ не включаем, поскольку неравенство строгое.

Ответ: $x\in (-\infty ;-1)\cup (2;+\infty )$.

Слайд 5. Как меняется знак на соседних интервалах

При переходе через корень нечётной кратности знак множителя меняется. Для линейного множителя $x-a$ знак меняется при переходе через точку $a$.

При переходе через корень чётной кратности знак не меняется. Например, множитель $(x-a{)}^2$ не меняет знак, но точка $a$ всё равно проверяется по условию.

Слайд 6. Пример 2. Произведение множителей

Решим неравенство $\frac{(x-1)(x+3)}{x-2}\le 0$.

Критические точки: $-3$ и $1$ — нули числителя, $2$ — нуль знаменателя. Расставляем их в порядке возрастания: $-3$, $1$, $2$.

Знаки на интервалах: «минус», «плюс», «минус», «плюс». Нужно выбрать отрицательные интервалы и включить нули числителя, потому что неравенство нестрогое. Точку $2$ включать нельзя.

Ответ: $x\in (-\infty ;-3]\cup [1;2)$.

Слайд 7. Типичные ошибки и самопроверка

• Включают в ответ значение, при котором знаменатель равен нулю.

• Путают нули числителя и знаменателя.

• Не учитывают строгость неравенства.

• Неверно расставляют знаки на интервалах.

• Сокращают общий множитель и забывают исключить его нуль из области допустимых значений.

Проверка: возьмите по одной контрольной точке из выбранного и невыбранного интервала и подставьте её в исходное неравенство.

Слайд 8. Самостоятельная работа. Варианты 1 и 2

Уровень 1:

1) $\frac{x-3}{x+2}>0$

2) $\frac{x+1}{x-4}\le 0$

Уровень 2:

$\frac{(x-2)(x+1)}{x-3}\ge 0$

Уровень 3:

$\frac{x^2-9}{x^2-4x+3}<0$

Для каждого задания укажите область допустимых значений и изобразите знаки на числовой прямой.

Уровень 1:

1) $\frac{x+2}{x-5}<0$

2) $\frac{x-4}{x+1}\ge 0$

Уровень 2:

$\frac{(x+3)(x-1)}{x+2}\le 0$

Уровень 3:

$\frac{x^2-1}{x^2-5x+6}>0$

Запишите ответ в виде объединения промежутков и проверьте его подстановкой.

Слайд 9. Итоги: что нужно уметь

• Находить область допустимых значений дробно-рационального выражения.

• Определять нули числителя и знаменателя.

• Размечать числовую прямую критическими точками.

• Расставлять знаки на интервалах.

• Учитывать знак неравенства и включать только допустимые точки.

• Объяснять, почему каждый выбранный интервал входит или не входит в ответ.

При выполнении самостоятельной работы оформляйте решение последовательно: ОДЗ → критические точки → знаки → ответ.