Действительные числа

Слайд 1. Действительные числа

Алгебра, 9 класс: Числа и вычисления

Слайд 2. Что такое действительные числа?

Действительные (вещественные) числа — это объединение множеств рациональных и иррациональных чисел.

Множество всех действительных чисел обозначается латинской буквой $\mathbb{R}$. Любое действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.

Слайд 3. Классификация чисел

$\mathbb{N}$ — Натуральные (1, 2, 3...)

$\mathbb{Z}$ — Целые (..., -1, 0, 1...)

$\mathbb{Q}$ — Рациональные (дроби $\frac{m}{n}$)

$\mathbb{I}$ — Иррациональные (непериодические)

$\mathbb{R}$ — Действительные (все вместе)

Слайд 4. Рациональные числа ($\mathbb{Q}$)

Любое рациональное число можно представить в виде $\frac{m}{n}$, где $m\in \mathbb{Z}$, $n\in \mathbb{N}$.

Конечные десятичные дроби: $0,5$; $-3,125$.

Бесконечные периодические дроби: $0,\mathrm{333...}=0,(3)$.

Любое целое число $a$ является рациональным, так как $a=\frac{a}{1}$.

Слайд 5. Иррациональные числа ($\mathbb{I}$)

Это бесконечные десятичные непериодические дроби. Их невозможно записать в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$. Они возникают при извлечении корней из чисел, не являющихся полными квадратами.

$\sqrt{2}\approx 1,\mathrm{414213...}$

$\pi \approx 3,\mathrm{141592...}$ (отношение длины окружности к диаметру)

$e\approx 2,\mathrm{718281...}$ (число Эйлера)

Слайд 6. Геометрическая модель: Числовая прямая

Слайд 7. Основные свойства операций в $\mathbb{R}$

$a+b=b+a$

$a\cdot b=b\cdot a$

$(a+b)+c=a+(b+c)$

$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

$a\cdot (b+c)=ab+ac$

$a+0=a$

$a\cdot 1=a$

$a\cdot 0=0$

Слайд 8. Сравнение действительных чисел

Из двух действительных чисел больше то, которое на координатной прямой расположено правее.

Для сравнения чисел в виде десятичных дробей их сравнивают поразрядно.

Пример: $3,\mathrm{1415...}<3,142$, так как в разряде тысячных $1<2$.

Слайд 9. Действия с действительными числами

Складываем числа с одинаковыми знаками, а при разных знаках вычитаем меньший модуль из большего.

Примеры: $-3,5+1,2=-2,3$; $4-\sqrt{2}$ — действительное число.

При умножении и делении учитываем знаки и выполняем действия с модулями.

Примеры: $(-2)\cdot 3,5=-7$; $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=4$; $6:(-2)=-3$.

Слайд 10. Ключевые выводы

Действительные числа включают рациональные и иррациональные.

Любая бесконечная десятичная дробь — это действительное число.

Множество $\mathbb{R}$ непрерывно (заполняет всю прямую).

Для любых двух чисел $a$ и $b$ выполняется ровно одно из условий: $a<b$, $a>b$ или $a=b$.

Слайд 11. Спасибо за внимание! Есть ли вопросы?