Арифметическая прогрессия

Слайд 1. Арифметическая прогрессия

Понятно о последовательностях и формулах • подготовка к ОГЭ

Слайд 2. Что такое арифметическая прогрессия?

Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается прибавлением одного и того же числа к предыдущему.

Это постоянное число называют разностью прогрессии и обозначают буквой $d$.

Слайд 3. Из чего она состоит?

Члены последовательности: $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n$.

$a_1$ — первый член.

$a_n$ — член с номером $n$.

$n$ — номер члена.

$d$ — разность прогрессии: $d=a_{n+1}-a_n$.

Слайд 4. Как распознать прогрессию?

$4,7,10,13,\dots$

Каждый раз прибавляем $3$.

Разность постоянна: $d=3$.

$2,4,8,16,\dots$

Члены умножаются на $2$.

Разности меняются: $2,4,8$.

Слайд 5. Разность показывает шаг

Чтобы найти разность, вычти предыдущий член из следующего: $d=a_{n+1}-a_n$.

Например, в последовательности $12,8,4,0,\dots$ получаем $d=8-12=-4$. Отрицательная разность означает, что члены убывают.

Слайд 6. Формула соседних членов

Связь между соседними членами записывают так: $a_{n+1}=a_n+d$.

Например, если $a_n=15$ и $d=-2$, то следующий член равен $a_{n+1}=15+(-2)=13$.

Эта формула удобна, когда нужно продолжить последовательность на один шаг.

Слайд 7. Формула n-го члена

Чтобы сразу найти член с номером $n$, не выписывая все предыдущие, используй формулу:

$a_n=a_1+(n-1)d$.

От первого члена до $n$-го нужно сделать $n-1$ шагов. Каждый шаг равен $d$.

Слайд 8. Что важно помнить о формуле?

$a_1$ — первый член последовательности.

$n$ — номер искомого члена.

От первого члена до $n$-го — $n-1$ шагов.

Если $d<0$, последовательность убывает; если $d>0$ — возрастает.

Слайд 9. Пример: найти дальний член

Дано: $a_1=5$, $d=3$. Найдём $a_8$.

Подставим в формулу: $a_8=5+(8-1)\cdot 3$.

Сначала считаем шаги: $8-1=7$. Затем $5+7\cdot 3=26$.

Ответ: $a_8=26$.

Слайд 10. Как найти разность по двум членам?

Если известны $a_1$ и $a_n$, вырази разность из формулы n-го члена:

$a_n=a_1+(n-1)d$.

Получаем: $d=\frac{a_n-a_1}{n-1}$.

Пример: $a_1=6$, $a_5=18$. Тогда $d=\frac{18-6}{5-1}=3$.

Слайд 11. Алгоритм для задания ОГЭ

Сначала выпиши, что известно: первый член, разность и номер искомого члена.

Затем выбери подходящую формулу и подставь данные.

Вычисли аккуратно и проверь: верно ли определены знак разности и число шагов?

Слайд 12. Подробный разбор: найти номер члена

В прогрессии $7,11,15,\dots$ найди номер члена, равного $39$.

Разность: $d=11-7=4$.

Подставляем известные значения в $a_n=a_1+(n-1)d$: $39=7+(n-1)\cdot 4$.

Вычитаем $7$: $32=4(n-1)$. Делим на $4$: $8=n-1$, значит $n=9$.

Проверка: $a_9=7+8\cdot 4=39$.

Слайд 13. Сумма членов прогрессии

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$

Сложи первый и последний члены, раздели пополам и умножь на число членов.

$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$

Эта запись получается, если вместо $a_n$ подставить формулу n-го члена.

Слайд 14. Почему работает формула суммы?

Запишем сумму в прямом и обратном порядке. Крайние пары дают одно и то же: $a_1+a_n$.

Таких пар — половина от общего количества членов. Поэтому среднее крайних членов умножаем на число членов: $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.

Формула подходит и для нечётного числа членов.

Слайд 15. Пример: найти сумму

Найдём сумму первых пяти членов последовательности $2,5,8,11,14$.

Здесь $a_1=2$, $a_5=14$, $n=5$.

$S_5=\frac{2+14}{2}\cdot 5=8\cdot 5=40$.

Ответ: сумма равна $40$.

Слайд 16. Выбирай формулу по вопросу

Используй $a_{n+1}=a_n+d$.

Используй $a_n=a_1+(n-1)d$.

Используй $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.

Слайд 17. Потренируйся самостоятельно

В последовательности $9,6,3,\dots$ найди разность.

Для $a_1=4$ и $d=5$ найди $a_6$.

В прогрессии $3,7,11,\dots$ найди номер члена, равного $31$.

Найди сумму первых четырёх членов прогрессии $1,4,7,\dots$.

Перед вычислением назови формулу, которая подходит к каждому вопросу.

Слайд 18. Где встречается постоянный шаг?

Арифметическая прогрессия помогает описывать ситуации, где величина меняется на одно и то же число за каждый шаг.

Например, если каждую неделю откладывать на одинаковую сумму больше, чем на предыдущей, накопления по неделям образуют арифметическую прогрессию.

Важно проверить условие: прибавка должна быть постоянной.

Слайд 19. Коротко перед проверочной

Арифметическая прогрессия — последовательность с постоянной разностью $d$.

Разность соседних членов: $d=a_{n+1}-a_n$.

Формула n-го члена: $a_n=a_1+(n-1)d$.

Формула суммы: $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.

Для решения сначала определи, что нужно найти, затем выбери формулу и проверь подстановку.

Слайд 20. Спасибо за внимание!