Взаимное расположение графиков линейных функций

Слайд 1. Взаимное расположение графиков линейных функций

Алгебра, 7 класс. Подробный разбор условий пересечения и параллельности

Слайд 2. Цели нашего урока

Вспомнить определение линейной функции

Изучить влияние коэффициентов $k$ и $b$ на график

Вывести условия параллельности прямых

Научиться определять точку пересечения без построения

Рассмотреть случай совпадающих прямых

Слайд 3. Вспомним базу

Линейная функция задается формулой $y=kx+b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ и $b$ — некоторые числа.

Графиком любой линейной функции является прямая линия. Для её построения достаточно координат двух точек.

Слайд 4. Роль коэффициентов

Называется угловым коэффициентом. Отвечает за угол наклона прямой к положительному направлению оси $Ox$.

Свободный член. Показывает ординату точки пересечения графика с осью $Oy$ (точка $(0;b)$).

Слайд 5. Угловой коэффициент $k$

Если $k>0$, функция возрастает (угол острый).

Если $k<0$, функция убывает (угол тупой).

Если $k=0$, график параллелен оси $Ox$ ($y=b$).

Слайд 6. Свободный член $b$

Этот коэффициент «двигает» прямую вверх или вниз вдоль оси $Oy$.

Если $b=0$, прямая $y=kx$ проходит через начало координат $(0;0)$.

Слайд 7. Случай 1: Параллельные прямые

Слайд 8. Условие параллельности

Две прямые $y=k_{1}x+b_1$ и $y=k_{2}x+b_2$ параллельны, если их угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны:

$k_1=k_2$

$b_1\ne b_2$

Слайд 9. Пример параллельности

Рассмотрим функции:

$y=3x+5$

$y=3x-2$

Здесь $k_1=k_2=3$. Прямые наклонены под одинаковым углом, поэтому они никогда не встретятся.

Слайд 10. Почему это так?

Равные $k$ означают одинаковую скорость изменения функции.

При каждом шаге по $x$ обе функции изменяются на одну и ту же величину.

Разные $b$ обеспечивают начальный «отступ» между ними.

Расстояние между такими прямыми по вертикали всегда равно $|b_1-b_2|$.

Слайд 11. Случай 2: Пересекающиеся прямые

Слайд 12. Условие пересечения

Две прямые $y=k_{1}x+b_1$ и $y=k_{2}x+b_2$ пересекаются, если их угловые коэффициенты различны:

$k_1\ne k_2$

В этом случае прямые имеют ровно одну общую точку.

Слайд 13. Как найти точку пересечения?

Координаты $(x;y)$ и будут точкой, в которой графики пересекаются.

Слайд 14. Пример расчета

Дано: $y=2x-4$ и $y=-x+5$

1) $2x-4=-x+5$

2) $3x=9\Rightarrow x=3$

3) $y=2\cdot 3-4=2$

Ответ: Точка пересечения $(3;2)$

Слайд 15. Случай 3: Совпадающие прямые

Слайд 16. Условие совпадения

Две прямые совпадают, если у них равны и угловые коэффициенты, и свободные члены:

$k_1=k_2$

$b_1=b_2$

Фактически, это одна и та же функция, записанная, возможно, в разном виде.

Слайд 17. Сводная таблица условий

Слайд 18. Визуальный навигатор

Прямые обязательно встретятся.

Прямые идут «ноздря в ноздрю».

Разная высота старта на оси Oy.

Пересечение в одной точке на оси Oy.

Слайд 19. Задание на внимательность

Определите расположение без графика:

1) $y=5x-1$ и $y=5x+8$

2) $y=0,5x+2$ и $y=2x+0,5$

3) $y=-3x+4$ и $y=4-3x$

Слайд 20. История вопроса

XVII век

XVIII век

Сегодня

Рене Декарт вводит систему координат.

Развитие аналитической геометрии и понятия функции.

Линейные зависимости — основа физики и экономики.

Слайд 21. Частный случай: $b_1=b_2$

Если у двух функций с разными $k$ совпадают коэффициенты $b$, то они пересекаются строго на оси ординат в точке $(0;b)$.

Пример: $y=10x+3$ и $y=-2x+3$. Точка пересечения — $(0;3)$.

Слайд 22. Математика — это язык, на котором написана книга природы.

— Галилео Галилей

Слайд 23. Алгоритм анализа

Выделите $k$ и $b$ для каждой функции.

Сравните коэффициенты $k$.

Сделайте вывод о параллельности или пересечении.

Слайд 24. Практическая задача

Найдите значение $m$, при котором графики функций $y=mx-3$ и $y=7x+2$ параллельны.

Решение:

Для параллельности необходимо $k_1=k_2$.

Следовательно, $m=7$.

При этом $b_1=-3$, $b_2=2$ (они разные), условие выполняется.

Слайд 25. Геометрия бесконечных прямых

Слайд 26. Связь с физикой

В физике графики движения $s(t)=v\cdot t+s_0$ — это линейные функции.

Если два объекта движутся с одинаковой скоростью ($v_1=v_2$), их графики параллельны — они не встретятся.

Если скорости разные — один догонит другого (точка пересечения).

Слайд 27. Сравнение наклонов

Большой $k$: крутой подъем

Малый $k$: пологий подъем

Слайд 28. Проверка знаний

Как чаще всего располагаются случайные прямые на плоскости? В задачах чаще всего мы ищем точку пересечения.

Слайд 29. Итоги урока

Главный индикатор расположения — коэффициент $k$.

Если $k_1\ne k_2$ — есть пересечение.

Если $k_1=k_2$ — прямые «согласованы» (параллельны или совпадают).

Коэффициент $b$ уточняет, есть ли у параллельных прямых общий путь.

Точка пересечения находится через решение уравнения.

Слайд 30. Спасибо за внимание! Успехов в изучении алгебры!