Понятие функции

Слайд 1. Понятие функции и линейная зависимость

Алгебра, 7 класс. Урок изучения нового материала и первичного закрепления с элементами проблемного диалога и практической работы.

Слайд 2. Зависимости в реальной жизни

Математика окружает нас повсюду, когда одна величина меняется вслед за другой.

Примеры зависимостей:

• Уровень заряда смартфона уменьшается с течением времени использования.

• Пройденный путь прямо зависит от скорости движения при постоянном времени.

• Стоимость покупки зависит от веса товара.

Функция — это математический способ описания такой связи, где каждому значению одной величины соответствует единственное значение другой. Сегодня наша цель — научиться распознавать такие зависимости и строить графики линейных функций, которые чаще всего встречаются в жизни.

Слайд 3. Актуализация знаний

Вспомним основы координатного метода:

Оси координат: горизонтальная ось $Ox$ (абсцисс) и вертикальная ось $Oy$ (ординат).

Числовые промежутки: как отличить интервал $(a;b)$ от отрезка $[a;b]$?

Принадлежность точки: запись $x\in [a;b]$ означает, что точка находится внутри или на границах промежутка.

Расстояние между точками: как найти длину отрезка на координатной прямой, зная координаты его концов $x_1$ и $x_2$?

Практика: определите координаты вершин квадрата, если его центр в начале координат.

Слайд 4. Что такое функция?

Функция — это правило, по которому каждому значению независимой переменной $x$ соответствует единственное значение зависимой переменной $y$.

• $x$ — аргумент (мы выбираем его сами).

• $y$ — значение функции (результат правила).

• $D(f)$ — область определения (все допустимые $x$).

1. Каждому ученику в классе соответствует его рост. (Да, у одного человека не может быть два разных роста одновременно).

2. Каждому числу $x$ соответствует его квадрат $x^2$. (Да, $y=x^2$ — это классическая функция).

3. Одному числу $x$ соответствуют два разных числа $y$. (Нет, это нарушает главное правило единственности).

Слайд 5. Линейная функция: формула и график

Функция задаётся формулой $y=kx+b$. Как вы думаете, почему её называют «линейной»? Что произойдёт с формулой, если $k=0$?

Графиком линейной функции всегда является прямая. Вспомните из курса геометрии: сколько точек достаточно, чтобы однозначно провести прямую?

Угловой коэффициент. Он отвечает за наклон: если $k>0$, прямая «растёт» вверх, если $k<0$ — «падает» вниз под тупым углом к оси $Ox$.

Свободный член. Он показывает точку пересечения с осью $Oy$. График всегда проходит через точку с координатами $(0;b)$.

Слайд 6. Алгоритм построения графика

1. Выберите два произвольных значения аргумента $x$ (удобно брать 0 или небольшие целые числа).

2. Вычислите соответствующие значения функции $y$ по формуле $y=kx+b$.

3. Оформите результаты в виде таблицы значений.

4. Отметьте полученные точки $(x;y)$ на координатной плоскости.

5. Проведите через эти точки прямую линию с помощью линейки.

Возьмем $x_1=0$, тогда $y_1=2\cdot 0-3=-3$. Точка $A(0;-3)$.

Возьмем $x_2=2$, тогда $y_2=2\cdot 2-3=1$. Точка $B(2;1)$.

Таблица значений:

$x$ | 0 | 2

$y$ | -3 | 1

Через точки $A$ и $B$ проводим прямую линию.

Слайд 7. График функции y = |x|

По определению $|x|\ge 0$ при любых значениях аргумента. Это значит, что график функции никогда не опускается ниже оси абсцисс ($Ox$), располагаясь только в I и II четвертях.

График представляет собой «уголок» или «птичку». Он состоит из двух лучей, выходящих из начала координат $(0;0)$, которые являются биссектрисами прямого угла.

Так как $|-x|=|x|$, функция является чётной. График абсолютно симметричен относительно оси ординат ($Oy$) — левая часть является зеркальным отражением правой.

Слайд 8. Аналитическая проверка

Как узнать, проходит ли график через точку, не рисуя его?

Правило: Если при подстановке координат точки в уравнение получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику.

Алгоритм: 1. Подставьте абсциссу ($x$) в формулу функции; 2. Вычислите значение $y$; 3. Сравните результат с ординатой точки.

Пример: Принадлежит ли точка $M(10;17)$ графику $y=2x-3$?

Решение: $17=2\cdot 10-3$ → $17=20-3$ → $17=17$. Равенство верно!

Ответ: Да, точка $M$ принадлежит графику.

Слайд 9. Алгоритм чтения графиков реальных процессов

Ориентиры

Экстремумы

Динамика

Синтез

Изучаем легенду: какие величины отложены по осям ($t$ — время, $T$ — температура, $S$ — путь) и какова цена деления шкалы.

Находим пики и спады: точки максимума и минимума. Например, самое жаркое время суток или момент остановки в пути.

Анализируем участки: где функция возрастает (рост скорости/нагрев) и где убывает (замедление/остывание).

Делаем выводы: связываем математическую модель с реальностью — физикой движения или географическими изменениями климата.

Слайд 10. Итоги урока и домашнее задание

Рефлексия: Сегодня мы научились переводить реальные зависимости на язык графиков и исследовали свойства линейных функций.

Критерии оценки: Точность выбора масштаба и нанесения точек, аккуратность линий и правильность выводов при чтении графиков.

Домашнее задание (Базовый): Учебник, §7, №142, №145 — построение графиков линейных функций по заданным формулам.

Домашнее задание (Средний): №150 — анализ графика зависимости пути от времени и расчет скорости на разных участках.

Домашнее задание (Продвинутый): Построить график функции $y=|x|-1$ и найти координаты точек, в которых значение функции равно 4.