Одночлены и многочлены

Слайд 1. Одночлены и многочлены

Алгебра, 7 класс. Программа «Математическая вертикаль»

Слайд 2. Степень числа и её свойства

Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n>1$ называется произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$: $a^n=\underset{n}{\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}}$.

Основные операции:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$.

2. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$.

3. Степень произведения равна произведению степеней множителей: $(ab{)}^n=a^n{b}^n$. Это свойство критически важно для упрощения одночленов.

Интересный факт: привычную нам запись степени $a^2,a^3$ ввёл французский математик Рене Декарт в своём труде «Геометрия» в 1637 году. До него математики записывали степени словами или громоздкими символами.

Слайд 3. Введение в мир выражений

В 7 классе мы переходим от простых арифметических действий к работе с целыми алгебраическими выражениями.

В программе «Математическая вертикаль» особое внимание уделяется структуре выражений и их преобразованиям, которые лежат в основе всей высшей математики.

Слайд 4. Что такое одночлен?

Одночленом называют произведение чисел, переменных и их степеней.

Например:

$5x^{2}y$

$-0.3abc$

$z$

$15$

Важно: в одночлене нет операций сложения или вычитания!

Слайд 5. Стандартный вид одночлена

Это вид, в котором на первом месте стоит числовой множитель (коэффициент), а далее — произведение различных переменных в степенях.

$2a^2\cdot 3a{b}^3\to (2\cdot 3)\cdot (a^2\cdot a)\cdot b^3=6a^3{b}^3$

Коэффициент: $6$

Буквенная часть: $a^3{b}^3$

Слайд 6. Степень одночлена

Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

Если одночлен является числом (не равным нулю), то его степень считается равной $0$.

Для одночлена $7x^3{y}^{2}z$ степень будет: $3+2+1=6$.

Слайд 7. Слово «алгебра» происходит от названия трактата Мухаммеда аль-Хорезми «Аль-джабр ва-ль-мукабала». Термин «аль-джабр» означал операцию переноса отрицательных слагаемых из одной части уравнения в другую.

— Историческая справка

Слайд 8. Переход к многочленам

Слайд 9. Понятие многочлена

Многочлен — это алгебраическая сумма нескольких одночленов.

Слагаемые многочлена называются его членами.

Двучлен: $a+b$

Трехчлен: $x^2+2x+5$

Слайд 10. Приведение подобных слагаемых

Найти подобные слагаемые (те, у которых одинаковая буквенная часть).

Сложить коэффициенты найденных подобных слагаемых.

Записать результат как произведение суммы на общую буквенную часть.

Слайд 11. Степень многочлена

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

Например, в многочлене $5x^4-2x^2+7$, степени членов равны $4,2$ и $0$. Значит, степень всего многочлена — $4$.

Слайд 12. Операции с многочленами

$(A)+(B)$: просто раскрываем скобки и приводим подобные.

$(A)-(B)$: меняем знаки всех членов во вторых скобках.

Умножаем каждый член одного на каждый член другого.

Обратный процесс: вынесение общего множителя за скобки.

Слайд 13. Свойства действий с многочленами

Эти свойства позволяют упрощать сложные выражения в «Математической вертикали» максимально эффективно.

Слайд 14. Геометрическая интерпретация умножения

Слайд 15. Алгоритм умножения многочленов

1. Каждый член первого многочлена умножаем на каждый член второго.

2. Полученные одночлены записываем в виде суммы.

3. Приводим подобные слагаемые.

4. Записываем итоговый многочлен в стандартном виде (по убыванию степеней).

Слайд 16. Интересный факт: Диофант Александрийский

Диофант был первым, кто начал использовать символы для обозначения неизвестных и степеней в Древней Греции. Его называют «отцом алгебры». До него все задачи записывались исключительно словами, что делало работу с многочленами невероятно громоздкой.

Слайд 17. Сравнение одночленов и многочленов

Слайд 18. Проверь себя: является ли это многочленом?

Помните: в многочлене переменные не могут стоять в знаменателе или под знаком корня. Только натуральные степени!

Слайд 19. История развития символики

III век

IX век

XVI век

XVII век

Диофант вводит сокращения для степеней.

Аль-Хорезми систематизирует правила решения уравнений.

Франсуа Виет вводит буквенные коэффициенты.

Декарт вводит современные обозначения степеней $x^2,x^3$.

Слайд 20. Итоги урока

Одночлен — это кирпичик, произведение чисел и переменных.

Многочлен — это здание, сумма одночленов.

Стандартный вид — залог отсутствия ошибок при вычислениях.

Степень выражения определяет его сложность и поведение функции.

Умение работать с многочленами — базовый навык для изучения функций и уравнений.

Слайд 21. Успехов в изучении алгебры!