Системы линейных уравнений с двумя переменными

Слайд 1. Что такое система уравнений?

Система уравнений — это два или более уравнений, для которых необходимо найти общие решения.

Фигурная скобка $\{\begin{array}{l}...\end{array}$ объединяет уравнения в систему.

Решением системы называется пара чисел $(x;y)$, которая обращает каждое уравнение в верное равенство.

Решить систему — значит найти все её решения или доказать, что их нет.

Слайд 2. Геометрический смысл

Графиком каждого линейного уравнения $ax+by=c$ является прямая.

1. Если прямые пересекаются — система имеет одно решение (координаты точки пересечения).

2. Если прямые параллельны — решений нет.

3. Если прямые совпадают — решений бесконечно много.

Слайд 3. Три основных способа решения

Построение графиков функций в одной системе координат и визуальный поиск точки их пересечения.

Выражение одной переменной через другую и подстановка этого выражения во второе уравнение.

Алгебраическое сложение уравнений для исключения одной из переменных.

Слайд 4. Алгоритм метода подстановки

1. Из любого уравнения выражаем одну переменную (например, $y$ через $x$).

2. Полученное выражение подставляем в другое уравнение системы.

3. Решаем полученное уравнение с одной переменной ($x$).

4. Находим значение второй переменной ($y$), подставив найденное значение $x$.

x - 3y = 12 2x + 4y = 90

Слайд 5. Алгоритм метода сложения

1. Умножаем (если нужно) уравнения на числа так, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными (например, $5$ и $-5$).

2. Складываем почленно левые и правые части уравнений.

3. Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

4. Находим вторую переменную.

3x - y = 9 2x + y = 11

Слайд 6. Практический пример: Задача

За 3 тетради и 2 ручки заплатили 120 рублей. А за 2 тетради и 2 ручки — 100 рублей. Сколько стоит одна тетрадь и одна ручка?

Пусть $x$ — цена тетради, $y$ — цена ручки.

Составим систему:

$\{\begin{array}{l}3x+2y=120\\ 2x+2y=100\end{array}$

Вычтем из 1-го уравнения 2-е:

$x=20$ (цена тетради).

Тогда $y=30$ (цена ручки).

Слайд 7. Задания для самостоятельной работы

Решите предложенные системы в тетради.

Подсказка: для первой системы попробуйте просто сложить уравнения. Для второй — значение $y$ уже выражено через $x$.