Уравнения и их корни

Слайд 1. Уравнения и их корни

Алгебра, 7 класс. Понятие равенства с переменной и методы поиска решений.

Слайд 2. Задача-разминка

На нижней полке в 4 раза больше книг, чем на верхней. Если с нижней переставить на верхнюю 15 книг, то книг станет поровну. Сколько книг на верхней полке?

Слайд 3. Переводим на язык математики

Пусть на верхней полке — $x$ книг.

Тогда на нижней полке — $4x$ книг.

После перестановки на верхней: $x+15$.

После перестановки на нижней: $4x-15$.

Условие «стало поровну» дает уравнение: $4x-15=x+15$.

Слайд 4. Что такое уравнение?

Уравнение — это равенство, содержащее переменную (неизвестное число). Буквой обычно обозначают то, что нужно найти.

Уравнения: $3x+5=20$, $x^2=16$.

Не уравнение: $3+5=8$ (это просто числовое равенство без переменной).

Слайд 5. Корень уравнения

Корень уравнения — это значение переменной, которое превращает уравнение в верное числовое равенство.

Проверим $x=10$ для уравнения $4x-15=x+15$:

Слева: $4\cdot 10-15=25$

Справа: $10+15=25$

$25=25$ — равенство верно, значит $10$ — корень!

Слайд 6. А если число не подходит?

Проверим $x=5$ для того же уравнения $4x-15=x+15$.

Слева: $4\cdot 5-15=5$.

Справа: $5+15=20$.

Так как $5\ne 20$, число $5$ не является корнем данного уравнения. Помните: корень — это только то число, которое дает истинное равенство.

Слайд 7. Алгоритм решения уравнения

Шаг 1

Шаг 2

Шаг 3

Переносим слагаемые с переменной влево, а числа вправо: $4x-x=15+15$.

Приводим подобные слагаемые в обеих частях: $3x=30$.

Делим обе части на коэффициент перед $x$: $x=30:3\Rightarrow x=10$.

Слайд 8. Количество корней

Уравнение $(x-4)(x-5)(x-6)=0$ имеет 3 корня: $4,5$ и $6$.

Уравнение $x^2=4$ имеет 2 корня: $2$ и $-2$.

Слайд 9. Когда корней нет

Рассмотрим уравнение $x+2=x$.

Если мы вычтем $x$ из обеих частей, получим $2=0$.

Это ложное утверждение. Значит, какое бы число мы ни подставили вместо $x$, верного равенства не получится. В таких случаях говорят: корней нет.

Слайд 10. Равносильные уравнения

Уравнения называются равносильными, если они имеют одни и те же корни.

Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.

Пример: $2x=10$ и $x+1=6$ равносильны, так как корень обоих $x=5$.

Свойства равносильности позволяют нам упрощать уравнения.

Слайд 11. Основные свойства уравнений

Слагаемое можно перенести из одной части в другую, изменив его знак.

Обе части можно разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Обе части можно умножить на одно и то же ненулевое число.

Применяя эти свойства, мы получаем уравнение, равносильное исходному.

Слайд 12. Тренажер для самостоятельной работы

1) $x+12=20$

2) $6x=42$

3) $x-7=3$

1) $4x+5=21$

2) $8x-3=2x+9$

3) $10-x=2x-5$

1) $3(x-2)=x+4$
2) $(x-1)(x+3)=0$
3) $\frac{x}{2}+5=11$

Слайд 13. Уравнение в магазине (Задача)

В двух коробках было поровну конфет. Из первой переложили во вторую 6 конфет. После этого во второй стало в 3 раза больше, чем в первой.

Математическая модель:

$x+6=3(x-6)$

$x+6=3x-18$

$24=2x\Rightarrow x=12$

Ответ: в коробках было по 12 конфет.

Слайд 14. Главное за урок

Уравнение — это равенство с переменной.

Корень — число, превращающее уравнение в истину.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Равносильные уравнения имеют одинаковые наборы корней.

При переносе слагаемого его знак меняется на противоположный.

Слайд 15

Слайд 16. Спасибо за внимание! Есть ли вопросы?