Введение в стереометрию

Слайд 1. Введение в стереометрию

Аксиомы стереометрии и их следствия. 10 класс

Слайд 2. Основные понятия стереометрии

(учебник п. 1)

Слайд 3. Что изучает стереометрия?

Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.

Основные фигуры в пространстве:

1. Точка (обозначается $A,B,C,...$)

2. Прямая (обозначается $a,b,c,...$ или $AB,CD$)

3. Плоскость (обозначается $\alpha ,\beta ,\gamma ,...$)

Слайд 4. Представление о плоскости

Плоскость в геометрии считается идеально ровной и бесконечной во всех направлениях. Примерами (моделями) части плоскости могут служить поверхность стола, зеркала, спокойная гладь воды. В стереометрии плоскость обычно изображается в виде параллелограмма или произвольной области.

Слайд 5. Планиметрия vs Стереометрия

Изучает фигуры на плоскости. Все точки фигуры лежат в одной плоскости. Основные объекты: точка и прямая.

Изучает фигуры в пространстве. Точки могут не лежать в одной плоскости. Добавляется новый объект: плоскость.

Слайд 6. Аксиомы стереометрии (группа С)

(учебник п. 2)

Слайд 7. Аксиома А1

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Слайд 8. Аксиома А2

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

Слайд 9. Аксиома А3

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Эта прямая называется линией пересечения плоскостей.

Слайд 10. Свойства пространства

В пространстве существует бесконечно много точек, прямых и плоскостей.

Для любой плоскости существуют точки, принадлежащие ей, и точки, не принадлежащие ей.

В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.

Аксиомы описывают способы взаимного расположения точек, прямых и плоскостей.

Слайд 11. Следствия из аксиом стереометрии

(учебник п.3)

Слайд 12. Теорема о прямой и точке

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство (идея):

1. На прямой $a$ возьмем две точки $B$ и $C$.

2. Точки $A,B,C$ не лежат на одной прямой.

3. По аксиоме А2 через них проходит единственная плоскость $\alpha$.

Слайд 13. Теорема о пересекающихся прямых

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство (идея):

1. Пусть прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке М.

2. Возьмем на прямой $a$ точку С не равную М.

3. Через прямую $b$ и точку М по теореме 1 проходит единственная плоскость $\alpha$.

Слайд 14. Решение задач

Слайд 15. Задача 1: Три точки

Могут ли три точки иметь две различные общие плоскости?

Ответ: Да, если точки лежат на одной прямой. В этом случае через них (через эту прямую) можно провести бесконечное множество плоскостей.

Если точки не лежат на одной прямой, то по А1 плоскость единственна.

Слайд 16. Задача 2: Четыре точки

Даны четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько различных плоскостей можно провести через эти точки, взятые по три?

Варианты:

1. Если все 4 точки в одной плоскости — 1 плоскость.

2. Если 1 точка не лежит в плоскости остальных трех — 4 плоскости (грани тетраэдра).

Слайд 17. Задача 3: Практический пример

Почему табуретка на трех ножках всегда стоит устойчиво даже на неровном полу, а стол на четырех ножках может качаться?

Объяснение:

Концы трех ножек — это три точки. По аксиоме А1 через них всегда проходит плоскость (пол). Четвертая точка (ножка) может не попасть в эту плоскость.

Слайд 18. Итоги урока

Стереометрия изучает фигуры в пространстве.

Три аксиомы (А1, А2, А3) — логический фундамент курса.

Плоскость однозначно задается: 3 точками, прямой и точкой, 2 пересекающимися прямыми.

Все законы планиметрии продолжают действовать внутри каждой плоскости пространства.

Слайд 19. Спасибо за внимание! Готовьтесь к покорению пространства.