Дроби и проценты в жизни

Слайд 1. Дроби и проценты в жизни

Применение алгебры для решения прикладных задач

Слайд 2. Зачем нам это нужно?

Математика окружает нас повсюду: от скидок в супермаркете до расчёта банковских вкладов. Умение быстро оперировать дробями и процентами — это навык «выживания» в современном финансовом мире. Сегодня мы научимся применять теорию на практике.

Слайд 3. Что мы сегодня разберем?

Перевод дробей в проценты и обратно

Алгоритм решения задач на проценты

Скидки, наценки и НДС в магазинах

Банковские проценты: простые и сложные

Смеси, сплавы и концентрация растворов

Ловушки и типичные ошибки в расчётах

Слайд 4. Дробь или процент?

Это часть целого. Например, $\frac{1}{4}$ пиццы. Удобно использовать, когда мы делим объект на равные доли.

Это сотая часть целого. $1\%=0,01=\frac{1}{100}$. Универсальный язык для сравнения разных величин.

Слайд 5. Таблица «быстрых» переводов

Слайд 6. Часть 1. Магазины и скидки

Слайд 7. Магия скидок

Представьте: товар стоил 2000 рублей. Скидка составляет $15\%$.

1. Находим сумму скидки: $2000\cdot 0,15=300$ руб.

2. Находим новую цену: $2000-300=1700$ руб.

Быстрый способ: $2000\cdot (1-0,15)=2000\cdot 0,85=1700$ руб.

Слайд 8. Акция: 1+1 или -50%?

Вы платите $100\%$ цены за 2 товара. Фактическая скидка на каждый — $50\%$. Выгодно, если вам нужно два.

Вы платите $60\%$ цены. Хотя процент меньше, вы не тратите лишние деньги на второй ненужный товар.

Слайд 9. Эффект двойной скидки

Важно: вторая скидка считается от УЖЕ УМЕНЬШЕННОЙ цены. Поэтому $20\%+20\%$ — это не $40\%$, а всего лишь $36\%$ от начальной цены.

Слайд 10. Часть 2. Банки и финансы

Слайд 11. Банковская терминология

Сумма, которую вы кладете в банк под процент.

Деньги, которые вы берете в долг и возвращаете с процентами.

Процент годовых, определяющий доход или переплату.

Прибавление процентов к основной сумме вклада.

Слайд 12. Простой vs Сложный процент

Сложный процент (процент на процент) растет быстрее. Формула: $A=P(1+r{)}^n$, где $r$ — ставка, $n$ — срок.

Слайд 13. Часть 3. Смеси и сплавы

Слайд 14. Золотое правило смесей

Масса чистого вещества не меняется при добавлении воды.

Концентрация = $\frac{\text{Масса вещества}}{\text{Масса раствора}}\cdot 100\%$.

При смешивании массы растворов складываются.

Массы чистых веществ тоже складываются.

Слайд 15. Мини-игра: Угадай концентрацию

Вопрос: Смешали 100г $10\%$-го и 100г $20\%$-го раствора сахара. Какова концентрация смеси? Правильный ответ: $15\%$ (среднее арифметическое, так как массы равны).

Слайд 16. Задачи на проценты, сплавы и смеси

1. В сосуде 10 л 14%-го водного раствора вещества. Добавили 4 л воды. Найдите концентрацию получившегося раствора.

2. В сосуде 5 л 12%-го раствора вещества. Добавили 5 л воды. Найдите концентрацию раствора.

3. В сосуде 7 л 15%-го раствора вещества. Добавили 8 л воды. Найдите концентрацию раствора.

4. В сосуде 8 л 20%-го раствора вещества. Добавили 8 л воды. Найдите концентрацию раствора.

5. Смешали равные количества 19%-го и 17%-го растворов. Найдите концентрацию смеси.

6. Смешали равные количества 12%-го и 14%-го растворов. Найдите концентрацию смеси.

7. Смешали равные количества 15%-го и 19%-го растворов. Найдите концентрацию смеси.

8. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 13%. Масса второго больше массы первого на 9 кг. Получили сплав с 11% меди. Найдите его массу.

9. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 14%. Масса второго больше массы первого на 7 кг. Получили сплав с 10% меди. Найдите его массу.

10. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 11%. Масса второго больше массы первого на 4 кг. Получили сплав с 10% меди. Найдите его массу.

11. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 14%. Масса второго больше массы первого на 10 кг. Получили сплав с 12% меди. Найдите его массу.

12. В первом сосуде 60 кг, во втором 20 кг растворов кислоты. При смешивании получается 30%-й раствор, а при смешивании равных масс — 45%-й. Сколько процентов кислоты в первом сосуде?

13. В первом сосуде 30 кг, во втором 20 кг раствора кислоты. При смешивании получается 68%-й раствор, а при смешивании равных масс — 70%-й. Сколько килограммов кислоты в первом сосуде?

14. Первый сплав содержит 10% никеля, второй — 35%. Получили 175 кг сплава с 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Слайд 17. Часть 4. Практикум и ловушки

Слайд 18. Парадокс зарплаты

Зарплату сначала повысили на 20%, а потом понизили на 20%. Изменилась ли она?

Слайд 19. Решение парадокса зарплаты

После повышения на $20\%$ зарплата стала $120\%$ от первоначальной.

После понижения на $20\%$ получаем: $120\%\cdot 80\%=96\%$.

Ответ: зарплата стала на $4\%$ меньше первоначальной.

Слайд 20. Где еще мы встречаем дроби?

Кулинария: $\frac{1}{2}$ чайной ложки соли или $250$ мл молока ($\frac{1}{4}$ литра).

Строительство: уклон крыши или пропорции цемента и песка ($1:3$).

Медицина: дозировка лекарства в зависимости от веса пациента.

Статистика: «каждый пятый житель» — это $\frac{1}{5}$ или $20\%$.

Слайд 21. Налоги и вычеты

Налоги — это тоже проценты. Важно понимать, какая сумма берется за базу налогообложения, чтобы правильно рассчитать свой чистый доход.

Слайд 22. История процента

Древний Рим

1425 год

1685 год

Использовались дроби кратные $\frac{1}{100}$ для расчёта налогов.

Первое упоминание символа $\%$ в итальянских рукописях.

Матье де ла Порт опубликовал руководство по коммерческой арифметике.

Слайд 23. Подведем итоги

Всегда проверяйте, от какой величины берется процент.

Дроби и проценты — это разные формы записи одного и того же числа.

Сложные проценты работают на вас при вкладах и против вас при долгах.

В задачах на смеси следите за сохранением массы чистого вещества.

Слайд 24. Домашнее задание

1. Товар стоил 2400 рублей. Сначала цену снизили на 15%, затем ещё на 10%. Найдите итоговую цену и общий процент снижения.

2. Вклад 50 000 рублей размещён под 8% годовых с ежегодной капитализацией на 2 года. Найдите итоговую сумму.

3. Смешали 300 г 12%-го раствора соли и 200 г 20%-го раствора. Найдите концентрацию полученной смеси.

Слайд 25. Решение домашнего задания

1. Итоговая цена: $2400\cdot 0,85\cdot 0,90=1836$ рублей. Общий процент снижения: $1-0,85\cdot 0,90=0,235$, то есть $23,5\%$.

2. Итоговая сумма вклада: $50000\cdot 1,08^2=58320$ рублей.

3. Масса соли: $300\cdot 0,12+200\cdot 0,20=76$ г. Масса смеси — $500$ г. Концентрация: $76/500\cdot 100\%=15,2\%$.

Слайд 26. Математика — это инструмент вашей свободы. Считайте правильно!

Слайд 27. Задача: вклад на четыре года

Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на $10\%$ по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 3 млн рублей.

Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет больше 20 млн рублей.

Слайд 28. Задача: вклад на четыре года

Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 1 млн рублей.

Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет больше 10 млн рублей.