Степенная функция

Слайд 1. Степенная функция, ее свойства и график

Алгебра, 10 класс: изучаем поведение функций вида $y=x^n$

Слайд 2. Что такое степенная функция?

Степенной функцией называют функцию вида $y=x^n$, где $x$ — независимая переменная (основание), а $n$ — некоторое число (показатель степени).

Вид графика и свойства функции напрямую зависят от значения показателя $n$. Мы рассмотрим случаи, когда $n$ — натуральное число, а также затронем отрицательные степени.

Слайд 3. Четный показатель: $n=2,4,\mathrm{6...}$

• Область определения: $D(f)=\mathbb{R}$

• Область значений: $E(f)=[0;+\infty )$

• Функция является четной: $f(-x)=f(x)$

• График симметричен относительно оси $Oy$

• Всегда проходит через точки $(0;0)$ и $(1;1)$

Слайд 4. Нечетный показатель: $n=3,5,\mathrm{7...}$

• Область определения: $D(f)=\mathbb{R}$

• Область значений: $E(f)=\mathbb{R}$

• Функция является нечетной: $f(-x)=-f(x)$

• График симметричен относительно начала координат $(0;0)$

• Функция возрастает на всей области определения

Слайд 5. Сравнение графиков при разных $n$

Слайд 6. Отрицательный показатель $n<0$

График расположен в I и II четвертях. Функция не определена в точке $x=0$. При $x\to 0$ значения $y\to +\infty$.

График — гипербола в I и III четвертях. Область значений $E(f)=(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$. Нечетная функция.

Слайд 7. Поведение функции на интервалах

График функции с большим показателем лежит ниже: $x^4<x^2$.

Все графики степенных функций с положительным $n$ пересекаются здесь.

График функции с большим показателем лежит выше: $x^4>x^2$.

Слайд 8. Сводная таблица свойств

Обратите внимание, что для нечетных $n$ функция монотонно возрастает на всей числовой прямой, в то время как четные функции имеют точку минимума $(0;0)$.