Геометрический смысл производной

Слайд 1. Геометрический смысл производной

Алгебра и начала анализа, 11класс

Слайд 2. Повторение и базовые понятия

Слайд 3. Приращение аргумента и функции

$\Delta x=x-x_0$ — приращение аргумента

$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ — приращение функции

Отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ показывает среднюю скорость изменения функции на отрезке $[x_0;x]$

Слайд 4. Понятие секущей

Секущая — это прямая, проходящая через две точки графика функции: $M_0(x_0;f(x_0))$ и $M(x;f(x))$.

Угловой коэффициент секущей $k_{\text{сек}}$ равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси $Ox$:

$k_{\text{сек}}=\tan \beta =\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Слайд 5. Переход от секущей к касательной

Слайд 6. Определение касательной

Касательной к графику функции $f$ в точке $M_0$ называется предельное положение секущей $M_{0}M$ при приближении точки $M$ к точке $M_0$ вдоль графика функции.

Это происходит, когда приращение аргумента $\Delta x$ стремится к нулю. В этот момент секущая превращается в касательную в данной точке.

Слайд 7. Сравнение: Секущая и Касательная

Пересекает график в двух и более точках. Характеризует среднюю скорость изменения функции на промежутке от $x_0$ до $x$.

Касается графика в одной локальной точке. Характеризует мгновенную скорость изменения функции в точке $x_0$.

Слайд 8. Алгоритм поиска наклона

Находим отношение приращения функции к приращению аргумента: $\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Устремляем $\Delta x$ к нулю, вычисляя предел данного отношения

Полученное число и есть значение производной $f^{\prime }(x_0)$

Слайд 9. Геометрический смысл производной

Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке:

$f^{\prime }(x_0)=k=\tan \alpha$

где $\alpha$ — угол наклона касательной к положительному направлению оси $Ox$.

Слайд 10. Связь производной и угла наклона

Слайд 11. Важные частные случаи

В точках максимума и минимума касательная параллельна оси абсцисс.

Если график имеет «острый угол», производная и касательная в этой точке не существуют.

Касательная к прямой линии совпадает с самой этой прямой.

Слайд 12. Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$

Здесь $f(x_0)$ — ордината точки касания, а $f^{\prime }(x_0)$ — наклон прямой.

Слайд 13. Алгоритм составления уравнения

1. Обозначить абсциссу точки касания через $x_0$

2. Вычислить значение функции в этой точке: $f(x_0)$

3. Найти производную функции $f^{\prime }(x)$

4. Вычислить значение производной в точке касания: $f^{\prime }(x_0)$

5. Подставить найденные значения в общую формулу уравнения касательной

6. Привести уравнение к виду $y=kx+b$

Слайд 14. Трудности при решении задач

Статистика типичных ошибок учащихся при составлении уравнения касательной (в процентах от общего числа ошибок).

Слайд 15. Подведем итоги

Производная в точке $x_0$ — это угловой коэффициент касательной $k$.

Геометрически: $f^{\prime }(x_0)=\tan \alpha$.

Касательная — это предельное положение секущей при $\Delta x\to 0$.

Уравнение касательной: $y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$.

Знак производной определяет, под острым или тупым углом наклонена касательная.