Свойства арифметического корня натуральной степени

Слайд 1. Свойства арифметического корня натуральной степени

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Слайд 2. Определение арифметического корня

Арифметическим корнем натуральной степени $n\ge 2$ из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число $b$, которое при возведении в степень $n$ дает число $a$.

Условия существования:

1. Подкоренное выражение $a\ge 0$.

2. Показатель корня $n\in \mathbb{N},n\ge 2$.

Слайд 3. Основные свойства корня

Корень из произведения: $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$

Корень из частного: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},b\ne 0$

Корень из степени: $\sqrt[n]{a^k}=(\sqrt[n]{a}{)}^k$

Основное свойство: $\sqrt[np]{a^{kp}}=\sqrt[n]{a^k}$

Слайд 4. Корень из корня и степень

Чтобы извлечь корень из корня, нужно перемножить их показатели: $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}$. Это свойство незаменимо при упрощении многоэтажных радикалов.

При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение: $(\sqrt[n]{a}{)}^k=\sqrt[n]{a^k}$. Условие: $a\ge 0$.

Слайд 5. Алгоритм упрощения выражений

Разложите числа под корнем на простые множители или полные степени.

Примените свойство корня из произведения для вынесения множителей.

Сократите показатели корня и степени, если это возможно.

Слайд 6. Задания для закрепления

Слайд 7. Итоги урока

Арифметический корень существует только для неотрицательных чисел.

Основные свойства позволяют умножать, делить и возводить корни в степень.

При извлечении корня четной степени из $a^n$ всегда ставьте модуль.

Показатели корня можно сокращать на их общий делитель.