Логарифмы и их свойства

Слайд 1. Логарифмы и их свойства

Основы алгебры 10 класса: от определения до решения уравнений

Слайд 2. Определение логарифма

Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $a$ (где $a>0,a\ne 1$) называется показатель степени, в которую нужно возвести число $a$, чтобы получить число $b$.

Запись: ${\log }_{a}b=c\iff a^c=b$.

Важно помнить: число под знаком логарифма всегда положительно ($b>0$).

Слайд 3. Основное логарифмическое тождество

Это прямое следствие определения логарифма:

$a^{{\log }_{a}b}=b$

Примеры использования:

$2^{{\log }_{2}5}=5$

$10^{\lg 7}=7$

$e^{\ln 3}=3$

Слайд 4. Свойства суммы и разности

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:

${\log }_a(x\cdot y)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$

Помогает упрощать вычисления.

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя:

${\log }_a(\frac{x}{y})={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$

Слайд 5. Логарифм степени

Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя этой степени на логарифм ее основания:

${\log }_a(x^p)=p\cdot {\log }_{a}x$

Это свойство позволяет «выносить» степень за знак логарифма, что значительно упрощает решение сложных уравнений.

Слайд 6. Переход к новому основанию

Если нужно сменить основание $a$ на новое основание $c$:

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

Частные случаи:

${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$

${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$

Слайд 7. Десятичный и натуральный логарифмы

Десятичный логарифм — это логарифм по основанию $10$. Обозначается как $\lg x$. Широко используется в инженерных расчетах и шкалах (например, шкала Рихтера).

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию $e$ ($e\approx 2,718$). Обозначается $\ln x$. Фундаментален для высшей математики и физики.

Слайд 8. График логарифмической функции $y={\log }_{2}x$

Слайд 9. Свойства функции $y={\log }_{a}x$

Область определения: $D(f)=(0;+\infty )$.

Область значений: $E(f)=(-\infty ;+\infty )$.

При $a>1$ функция возрастает на всей области определения.

При $0<a<1$ функция убывает на всей области определения.

График всегда пересекает ось $OX$ в точке $(1;0)$.

Слайд 10. Таблица значений для ${\log }_{2}x$

Обратите внимание, как при увеличении $x$ в 2 раза, значение логарифма увеличивается на 1. Это демонстрирует медленный рост логарифмической функции при больших значениях аргумента.

Слайд 11. Алгоритм решения простейшего уравнения

Текст слева

Слайд 12. Примеры вычислений

Вычислить ${\log }_{3}81$.

Так как $3^4=81$, то ${\log }_{3}81=4$.

Вычислить ${\log }_{5}0,2$.

$0,2=\frac{1}{5}=5^{-1}$.

Следовательно, ${\log }_5{5}^{-1}=-1$.

Вычислить $\lg 0,01$.

$0,01=10^{-2}$.

Значит, $\lg 10^{-2}=-2$.

Слайд 13. Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь.

— Пьер-Симон Лаплас

Слайд 14. Подведем итоги

Логарифм — это показатель степени.

Основание и аргумент должны быть положительными, основание не равно 1.

Основные свойства позволяют заменять умножение сложением, а деление — вычитанием.

График функции зависит от того, больше или меньше единицы основание $a$.

Всегда проверяйте ОДЗ при решении уравнений.

Слайд 15. Спасибо за внимание! Успехов в изучении алгебры!