Единичная окружность и тригонометрические функции

Слайд 1. Единичная окружность и тригонометрические функции

Градусная и радианная меры угла. Определение $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$. 10 класс.

Слайд 2. Цели урока

Сегодня мы изучим фундаментальное понятие тригонометрии — единичную окружность. Мы научимся переходить от градусов к радианам, поймём, как располагаются углы на координатной плоскости, и дадим строгие определения синуса и косинуса для любого угла $\alpha$.

Слайд 3. Что такое единичная окружность?

Единичной окружностью в тригонометрии называют окружность с центром в начале координат и радиусом $R=1$.

Точка $P_0(1;0)$ считается начальной точкой. Любой угол $\alpha$ получается путём поворота этого начального радиуса вокруг центра координат.

Слайд 4. Направление поворота

Поворот против часовой стрелки считается положительным. Углы в этом направлении увеличиваются от $0^{\circ }$ до $+\infty$.

Поворот по часовой стрелке считается отрицательным. Углы обозначаются со знаком минус, например $-45^{\circ }$ или $-\pi$.

Слайд 5. Градусная мера угла

Окружность делится на $360$ равных частей.

Одна такая часть называется градусом ($1^{\circ }$).

Полный оборот составляет $360^{\circ }$.

Прямой угол равен $90^{\circ }$.

Развёрнутый угол равен $180^{\circ }$.

Слайд 6. Радианная мера угла

Угол в $1$ радиан — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

Длина всей окружности $L=2\pi R$.

Так как $R=1$, длина окружности равна $2\pi$.

Следовательно, $360^{\circ }=2\pi$ радиан.

Слайд 7. Соответствие градусов и радиан

Слайд 8. Формулы перехода

Из градусов в радианы:

${\alpha }_{\text{рад}}=\frac{{\alpha }_{\text{град}}\cdot \pi }{180^{\circ }}$

Из радиан в градусы:

${\alpha }_{\text{град}}=\frac{{\alpha }_{\text{рад}}\cdot 180^{\circ }}{\pi }$

Слайд 9. Таблица часто используемых углов

Слайд 10. Определение синуса и косинуса

Слайд 11. Синус произвольного угла

Синусом угла $\alpha$ называется ордината (координата $y$) точки $P$, полученной поворотом точки $P_0(1;0)$ на угол $\alpha$.

$\sin \alpha =y$

Слайд 12. Косинус произвольного угла

Косинусом угла $\alpha$ называется абсцисса (координата $x$) точки $P$, полученной поворотом точки $P_0(1;0)$ на угол $\alpha$.

$\cos \alpha =x$

Слайд 13. Знаки функций по четвертям

$\sin \alpha >0$, $\cos \alpha >0$. Все значения положительны.

$\sin \alpha >0$, $\cos \alpha <0$. Синус положителен, косинус отрицателен.

$\sin \alpha <0$, $\cos \alpha <0$. Обе функции отрицательны.

$\sin \alpha <0$, $\cos \alpha >0$. Синус отрицателен, косинус положителен.

Слайд 14. Область значений

Так как точка $P(x;y)$ лежит на единичной окружности, её координаты не могут выходить за пределы интервала $[-1;1]$.

$-1\le \sin \alpha \le 1$

$-1\le \cos \alpha \le 1$

Это справедливо для любого угла $\alpha$.

Слайд 15. Практические примеры

Найти $\sin 180^{\circ }$.

Точка при повороте на $180^{\circ }$ имеет координаты $(-1;0)$. Ордината $y=0$, значит $\sin 180^{\circ }=0$.

Найти $\cos (-\frac{\pi }{2})$.

Поворот на $90^{\circ }$ по часовой стрелке дает точку $(0;-1)$. Абсцисса $x=0$, значит $\cos (-\frac{\pi }{2})=0$.

Слайд 16. Алгоритм нахождения значений

Отметить угол $\alpha$ на единичной окружности от точки $(1;0)$.

Найти координаты $(x;y)$ полученной точки на плоскости.

Записать ответ: $x$ для косинуса, $y$ для синуса.

Слайд 17. Итоги урока

Единичная окружность имеет радиус $R=1$ и центр $(0;0)$.

Углы измеряются в градусах и радианах ($180^{\circ }=\pi$ рад).

Косинус — это координата $x$ точки на окружности.

Синус — это координата $y$ точки на окружности.

Значения синуса и косинуса всегда лежат в пределах от $-1$ до $1$.