Числовые системы

Слайд 1. Числовые системы: от рациональных к действительным числам

Алгебра, 10 класс. Преобразования выражений и подготовка к ЕГЭ

Слайд 2. Классификация чисел: Иерархия

Натуральные числа ($\mathbb{N}$)

Целые числа ($\mathbb{Z}$)

Рациональные числа ($\mathbb{Q}$)

Иррациональные числа ($\mathbb{I}$)

Действительные числа ($\mathbb{R}$)

Слайд 3. Рациональные числа ($\mathbb{Q}$)

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m\in \mathbb{Z}$, а $n\in \mathbb{N}$. Любое рациональное число представляется либо в виде конечной десятичной дроби, либо в виде бесконечной периодической дроби.

Слайд 4. Виды десятичных дробей

Знаменатель $n$ не имеет простых делителей, кроме 2 и 5.

Примеры: $\frac{1}{4}=0,25$; $\frac{7}{20}=0,35$.

Знаменатель содержит иные простые делители.

Примеры: $\frac{1}{3}=0,\mathrm{333...}=0,(3)$; $\frac{5}{6}=0,\mathrm{833...}=0,8(3)$.

Слайд 5. Арифметические операции и преобразования

Слайд 6. Проценты и дроби

Процент — это одна сотая часть числа.

$1\%=0,01=\frac{1}{100}$.

Для решения задач ЕГЭ важно быстро переводить проценты в десятичные дроби:

$20\%=0,2$; $150\%=1,5$.

Слайд 7. Иррациональные и действительные числа

Слайд 8. Понятие иррационального числа ($\mathbb{I}$)

Иррациональные числа — это бесконечные непериодические десятичные дроби. Их нельзя представить в виде $\frac{m}{n}$.

Примеры: $\sqrt{2}\approx 1,\mathrm{4142...}$, $\pi \approx 3,\mathrm{1415...}$, $e\approx 2,\mathrm{7182...}$.

Слайд 9. Действительные числа ($\mathbb{R}$)

Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных (вещественных) чисел. Каждой точке на числовой прямой соответствует ровно одно действительное число.

Слайд 10. Практикум: Задания ЕГЭ (Базовый уровень)

Слайд 11. Задание №14: Вычисления

Типовой пример: Найдите значение выражения

$(2\cdot 10^2{)}^2\cdot (12\cdot 10^{-3})$.

1. Возводим в степень: $4\cdot 10^4$.

2. Перемножаем числа: $4\cdot 12=48$.

3. Складываем степени: $10^4\cdot 10^{-3}=10^1$.

4. Ответ: $480$.

Слайд 12. Задание №14: Действия с дробями

Слайд 13. Задание №16: Степени и корни

Найдите значение выражения: $\frac{a^{12}\cdot a^{-5}}{a^9}$ при $a=2$.

Решение:

1. Числитель: $a^{12-5}=a^7$.

2. Дробь: $a^7/a^9=a^{7-9}=a^{-2}$.

3. Подстановка: $2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}=0,25$.

Слайд 14. Ловушки в задании №16

$(-2{)}^2=4$, но $-2^2=-4$. Следите за скобками!

$\sqrt{x^2}=|x|$. Не забывайте модуль для переменных.

$a^n+a^m$ НЕ РАВНО $a^{n+m}$. Свойства только для умножения.

$a^0=1$ для любого $a\ne 0$.

Слайд 15. Задание для самостоятельной работы

1. Вычислите: $0,8\cdot \frac{5}{8}-\frac{1}{2}$.

2. Переведите $0,(15)$ в обыкновенную дробь.

3. Найдите значение $\frac{(3^2{)}^3}{3^4}$.

4. Упростите: $(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)$.

Слайд 16. Итоги занятия

Рациональные числа — это дроби и периодические десятичные записи.

Иррациональные числа нельзя представить в виде дроби (например, корни).

Действительные числа заполняют всю числовую прямую.

Для успеха на ЕГЭ важно уметь быстро переходить между формами записи чисел.