Векторное произведение векторов

Слайд 1. Векторное произведение векторов

10 класс, алгебра

Как найти вектор, перпендикулярный двум данным, и вычислить площадь

Слайд 2. Разминка: скалярное произведение

Задача

Пусть $\vec{a}=(1;2;-1)$, $\vec{b}=(2;0;3)$. Чему равно $\vec{a}\cdot \vec{b}$?

Как по скалярному произведению проверить перпендикулярность векторов?

Слайд 3. Проверяем разминку

$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 2+2\cdot 0+(-1)\cdot 3=-1$

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Слайд 4. Какой объект нам нужен?

Вопрос: какой объект должен иметь длину, равную площади параллелограмма, и быть перпендикулярным его плоскости?

Условие: два исходных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ образуют угол $\phi$.

Слайд 5. Формулируем требования к результату

Нужен вектор, перпендикулярный $\vec{a}$ и $\vec{b}$

Его длина должна быть равна $|\vec{a}||\vec{b}|\sin \phi$

Эта длина совпадает с площадью параллелограмма, построенного на $\vec{a}$ и $\vec{b}$

Слайд 6. Определение и направление

Векторное произведение $\vec{a}\times \vec{b}$ — вектор, перпендикулярный векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Направление определяется правилом правой руки.

Длина: $|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \phi$.

Слайд 7. Координатная формула

Если $\vec{a}=(a_1;a_2;a_3)$, $\vec{b}=(b_1;b_2;b_3)$, то

$\vec{a}\times \vec{b}=(a_2{b}_3-a_3{b}_2;a_3{b}_1-a_1{b}_3;a_1{b}_2-a_2{b}_1)$.

Вторая координата вычисляется как $a_3{b}_1-a_1{b}_3$.

Свойство: $\vec{a}\times \vec{b}=-(\vec{b}\times \vec{a})$.

Слайд 8. Алгоритм вычисления

1. Записать координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

2. Вычислить последовательно три координаты произведения.

3. Проверить перпендикулярность: $(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{a}=0$ и $(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{b}=0$.

4. Найти длину результата по формуле $|\vec{a}\times \vec{b}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Слайд 9. Применение результата

Площадь параллелограмма: $S=|\vec{a}\times \vec{b}|$

Площадь треугольника: $S=\frac{1}{2}|\vec{a}\times \vec{b}|$

Домашняя работа:

Базовый уровень — решить 4 задачи на вычисление произведения; найти длину результата хотя бы в двух из них.

Средний уровень — решить 3 задачи на площади; в каждой выполнить одну проверку перпендикулярности.

Продвинутый уровень — исследовать на двух примерах свойства $\vec{a}\times \vec{b}=-(\vec{b}\times \vec{a})$ и $(\vec{a}+\vec{b})\times \vec{c}=\vec{a}\times \vec{c}+\vec{b}\times \vec{c}$, записав координатные вычисления и краткий вывод.

Слайд 10. Итоги урока

Векторное произведение задаёт направление, перпендикулярное двум исходным векторам.

Его длина равна площади параллелограмма.

Контрольные вопросы:

Что представляет собой векторное произведение?

Как вычисляется его вторая координата?

Чему равна площадь параллелограмма через длину векторного произведения?

Как проверить перпендикулярность результата исходным векторам?