Тождества и тождественные преобразования

Слайд 1. Тождества и тождественные преобразования

Алгебра, 10 класс

Слайд 2. Что называют тождеством

Тождество — это равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Например, $2(x+3)=2x+6$ — тождество: обе части имеют одинаковые значения при любом $x$. Допустимые значения определяются ОДЗ выражений.

Слайд 3. Равенство, уравнение и тождество

Верно только при некоторых значениях переменной.

Пример: $x+2=5$ верно только при $x=3$.

Верно при всех допустимых значениях переменной.

Пример: $(x+1{)}^2=x^2+2x+1$.

Слайд 4. Законы преобразования выражений

Переместительный закон: $a+b=b+a$, $ab=ba$

Сочетательный закон: $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(ab)c=a(bc)$

Распределительный закон: $a(b+c)=ab+ac$

Правила раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых

Сокращение дробей с учётом ненулевого знаменателя

Слайд 5. Алгоритм тождественного преобразования

1. Определить ОДЗ исходного выражения.

2. Выбрать подходящее преобразование: раскрытие скобок, группировка, формула сокращённого умножения или разложение на множители.

3. Выполнить преобразование по шагам.

4. Проверить результат подстановкой допустимого значения.

Слайд 6. Пример 1: раскрытие скобок

Упростим выражение $3(2x-5)+4$.

Раскрываем скобки: $3(2x-5)+4=6x-15+4$.

Приводим подобные слагаемые: $6x-15+4=6x-11$.

Ответ: $6x-11$.

Слайд 7. Формулы сокращённого умножения

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

Слайд 8. Пример 2: формула сокращённого умножения

Упростим: $(2x-3{)}^2$.

Используем формулу квадрата разности: $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$.

Подставляем $a=2x$, $b=3$: $(2x-3{)}^2=4x^2-12x+9$.

Важно: средний член содержит удвоенное произведение.

Слайд 9. «Преобразование должно сохранять значение выражения»

— ключевой принцип тождественных преобразований

Слайд 10. Разложение на множители

Разложить выражение на множители — значит представить его в виде произведения более простых выражений.

Основные приёмы: вынесение общего множителя за скобки, группировка, применение формул сокращённого умножения.

Пример: $6x^2-9x=3x(2x-3)$.

Слайд 11. Четыре приёма разложения на множители

$8x^2+12x=4x(2x+3)$

$ax+ay+bx+by=(a+b)(x+y)$

$x^2-25=(x-5)(x+5)$

$x^2+6x+9=(x+3{)}^2$

Слайд 12. Пример 3: сложное преобразование

Упростим выражение $(x+2{)}^2-(x-2{)}^2$.

Это разность квадратов: $[(x+2)-(x-2)][(x+2)+(x-2)]$.

После упрощения получаем $4\cdot 2x=8x$.

Проверка: при $x=1$ исходное выражение и результат дают одно и то же значение.

Слайд 13. Преобразования дробных выражений

Нельзя сокращать отдельные слагаемые. Сначала числитель и знаменатель раскладывают на множители, затем учитывают ОДЗ.

Слайд 14. Пример 4: дробь и ОДЗ

Упростим $\frac{x^2-9}{x-3}$.

ОДЗ: $x\ne 3$.

Разложим числитель: $x^2-9=(x-3)(x+3)$.

Сократим общий множитель: $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$, но только при $x\ne 3$.

Преобразованное выражение эквивалентно исходному на его ОДЗ.

Слайд 15. Тождественные преобразования и равносильность

Тождественное преобразование сохраняет значение выражения при каждом допустимом значении переменной. Поэтому его можно выполнять внутри формулы или при упрощении результата.

При преобразовании уравнений нужно следить, не появились ли посторонние корни и не потерялись ли допустимые значения. Особенно осторожно работают с делением, умножением и возведением в степень.

Слайд 16. Типичные ошибки

Забывают удвоить произведение в квадрате суммы или разности.

Неверно раскрывают знак минус перед скобками.

Сокращают слагаемые вместо множителей.

Не указывают ОДЗ дробного выражения.

Смешивают преобразование выражения с решением уравнения.

Слайд 17. Лестница сложности: от простого к сложному

Шаг 1

Шаг 2

Шаг 3

Шаг 4

Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

Применить формулу сокращённого умножения.

Разложить многочлен на множители.

Преобразовать дробное выражение с учётом ОДЗ.

Слайд 18. Вопросы для обсуждения

1. Почему равенство $\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$ нельзя считать верным при любом $x$?

2. Всегда ли более короткая запись является лучшим результатом?

3. Как понять, какой приём разложения на множители выбрать первым?

4. Можно ли проверить тождество подстановкой одного значения? Обоснуйте ответ.

Слайд 19. Практическое задание

Упростите выражения и укажите ОДЗ там, где это необходимо:

$4(3x-2)-5x$

$(x+5{)}^2-x^2$

$x^2-16$

$\frac{x^2-4}{x-2}$

После решения обменяйтесь ответами в паре и объясните, какое преобразование использовали.

Слайд 20. Итоги урока

Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях переменных.

Тождественные преобразования сохраняют значение выражения.

Основные инструменты: законы действий, формулы сокращённого умножения, разложение на множители и преобразование дробей.

ОДЗ необходимо проверять до сокращения и других потенциально ограничивающих действий.

Хорошее преобразование — верное, обоснованное и удобное для дальнейшей работы.