Сложные проценты

Слайд 1. Сложные проценты

Алгебра, 10 класс

Слайд 2. Что такое сложные проценты

Сложные проценты — это начисление процентов не только на первоначальную сумму, но и на уже полученный доход.

Каждый новый период сумма увеличивается в одно и то же число раз: $1+\frac{p}{100}$, где $p$ — процентная ставка.

Слайд 3. Простые и сложные проценты

Процент каждый раз считают от первоначальной суммы.

Доход за период остаётся одинаковым.

Процент каждый раз считают от текущей суммы.

Доход постепенно увеличивается благодаря капитализации.

Слайд 4. Основная формула

Если начальная сумма равна $S_0$, ставка — $p$ процентов за период, а число периодов — $n$, то итоговая сумма вычисляется так:

$S_n=S_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$

Множитель $1+\frac{p}{100}$ показывает, во сколько раз сумма изменяется за один период.

Слайд 5. Алгоритм решения задачи

1. Выписать начальную сумму $S_0$.

2. Определить ставку $p$ и число периодов $n$.

3. Перевести проценты в десятичную дробь.

4. Подставить значения в формулу.

5. Округлить ответ, если это требуется по условию.

Слайд 6. Пример с решением

Вклад $1000$ рублей увеличивается на $10\%$ ежегодно. Найдём сумму через $3$ года.

$S_3=1000\cdot (1+0,1{)}^3$

$S_3=1000\cdot 1,1^3=1331$ рублей.

За три года доход составит $331$ рубль.

Слайд 7. Как растёт сумма по годам

Пример: начальная сумма — 1000 рублей, ставка — 10% в год. Линия становится круче, потому что каждый новый процент начисляется на увеличенную сумму.

Слайд 8. Где встречаются сложные проценты

Доход может присоединяться к сумме вклада и дальше приносить новый доход.

Проценты начисляются на оставшуюся задолженность по правилам договора.

Изменение цен за несколько периодов можно описывать последовательным умножением.

Такая модель подходит для процессов, где величина каждый период меняется в одинаковое число раз.

Слайд 9. «Маленький процент, повторённый много раз, даёт большой результат»

— Главное свойство сложного роста

Слайд 10. Итоги и задание

Сложные проценты начисляются на текущую сумму.

Формула: $S_n=S_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$.

Множитель показывает изменение за один период.

Чем больше число периодов, тем заметнее эффект капитализации.

Задание: сравните итоговую сумму для вклада $1000$ рублей при ставке $5\%$ и $10\%$ годовых через $3$ года. Объясните, почему результаты отличаются.