Модуль действительного числа

Слайд 1. Модуль действительного числа и его свойства

Алгебра, 10 класс

Слайд 2. Что такое модуль числа?

Модуль числа — это расстояние от точки, изображающей число на координатной прямой, до начала отсчёта.

Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль любого числа неотрицателен.

Слайд 3. Определение через знак числа

Для $a\ge 0$ выполняется: $|a|=a$.

Пример: $|7|=7$.

Для $a<0$ выполняется: $|a|=-a$.

Пример: $|-7|=-(-7)=7$.

Слайд 4. Модуль на координатной прямой

Слайд 5. Основные свойства модуля

$|a|\ge 0$

$|a|=0$ тогда и только тогда, когда $a=0$

$|-a|=|a|$

$|ab|=|a|\cdot |b|$

$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}$, если $b\ne 0$

Слайд 6. Почему $|-a|=|a|$?

Числа $a$ и $-a$ находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны координатной прямой.

Например, числа $5$ и $-5$ имеют один и тот же модуль: $|5|=|-5|=5$.

Слайд 7. Как вычислить модуль числа

Определите знак числа внутри модуля.

Если число отрицательное, замените его на противоположное.

Если число неотрицательное, оставьте его без изменений.

Слайд 8. Алгоритм раскрытия модуля

Знак выражения внутри модуля может зависеть от значения переменной.

Например:

$|x|=x$, если $x\ge 0$;

$|x|=-x$, если $x<0$.

Сначала выясняем, при каких значениях переменной выражение положительно или отрицательно.

Слайд 9. Примеры вычислений

$|-12|=12$

$|-0,4|=0,4$

$|3-8|=|-5|=5$

$|-2\cdot 6|=|-12|=12$

Слайд 10. Модуль и расстояние между числами

Расстояние между точками с координатами $a$ и $b$ равно $|a-b|$.

Пример: расстояние между $-2$ и $5$ равно $|-2-5|=|-7|=7$.

Слайд 11. Уравнение $|x|=a$

Если $a>0$, уравнение имеет два решения: $x=a$ и $x=-a$.

Если $a=0$, решение одно: $x=0$.

Если $a<0$, решений нет, потому что модуль не может быть отрицательным.

Слайд 12. Неравенства с модулем

$|x|<a$ означает $-a<x<a$, если $a>0$

$|x|\le a$ означает $-a\le x\le a$, если $a\ge 0$

$|x|>a$ означает $x<-a$ или $x>a$, если $a\ge 0$

$|x|\ge a$ означает $x\le -a$ или $x\ge a$, если $a\ge 0$

Слайд 13. Проверь себя

1. Вычислите: $|-9|$, $|4-11|$, $|-3\cdot 5|$.

2. Решите уравнение: $|x|=6$.

3. Запишите промежуток, задаваемый неравенством $|x|<4$.

4. Объясните, почему равенство $|x|=-2$ не имеет решений.

Слайд 14. Итоги

Модуль числа — его расстояние от нуля.

Модуль всегда неотрицателен.

Для отрицательного числа модуль меняет знак, для неотрицательного — сохраняет число.

Расстояние между числами $a$ и $b$ вычисляется как $|a-b|$.

При решении уравнений и неравенств важно учитывать знак выражения внутри модуля.