Матрицы

Слайд 1. Матрицы: основные понятия, типы матриц, операции над матрицами

Алгебра, 10 класс

Открытие нового знания

Слайд 2. Таблица продаж за январь и февраль

Слайд 3. Актуализация: читаем матрицу

Задача: дана матрица $A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 4\\ 0& 3& 5\end{array}\right)$. Сколько в ней строк и столбцов?

Задача: как обозначить число, стоящее в первой строке и третьем столбце? Что произойдёт, если каждое число умножить на $2$?

Проверяем себя: $2$ строки и $3$ столбца; $a_{13}=4$; результат $\left(\begin{array}{ccc}4& -2& 8\\ 0& 6& 10\end{array}\right)$

Слайд 4. Элемент матрицы и его индексы

Задача: найдите координаты числа $3$ в матрице $A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 4\\ 0& 3& 5\end{array}\right)$.

Проверяем себя: число $3$ находится во второй строке и втором столбце, поэтому это элемент $a_{22}$.

Первый индекс обозначает номер строки, второй — номер столбца.

Слайд 5. Проблемная ситуация: можно ли сложить матрицы?

Задача: даны матрицы $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ и $B=\left(\begin{array}{ccc}5& 6& 7\\ 8& 9& 10\end{array}\right)$. Попробуйте сложить $A$ и $B$ по аналогии со сложением чисел.

Проверяем себя: $A$ имеет размер $2\times 2$, $B$ — размер $2\times 3$; сложить матрицы нельзя, потому что их размеры различаются.

Вопросы урока: что такое матрица, как обозначается её размер и какие операции над матрицами допустимы?

Слайд 6. Основные понятия и типы матриц

Матрица — прямоугольная таблица чисел, заключённых в скобки

Размер матрицы $m\times n$: $m$ — число строк, $n$ — число столбцов

Квадратная матрица: число строк равно числу столбцов

Нулевая матрица: все элементы равны нулю

Строка, столбец, диагональные элементы и главная диагональ

Слайд 7. Сложение и вычитание матриц

Складывать и вычитать можно только матрицы одинакового размера.

Операции выполняются поэлементно: $(A+B{)}_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$.

При вычитании элементы с одинаковыми индексами также обрабатываются поэлементно.

Размер результата совпадает с размером исходных матриц.

Слайд 8. Умножение матрицы на число

При умножении матрицы на число каждый её элемент умножается на это число.

Для $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ результат:

$kA=\left(\begin{array}{cc}ka& kb\\ kc& kd\end{array}\right)$

Размер матрицы при умножении на число не изменяется.

Знак числа влияет на знак каждого элемента результата.

Слайд 9. Алгоритм выполнения операций

1. Определить размеры матриц и проверить возможность операции.

2. Сопоставить элементы с одинаковыми индексами.

3. Выполнить действие над соответствующими элементами.

4. Проверить размер и запись полученной матрицы.

Слайд 10. Закрепление и контроль понимания

Контрольные вопросы:

Что такое матрица? Как обозначается её размер?

Где находится элемент $a_{23}$? Когда можно сложить две матрицы?

Как выполняется умножение матрицы на число?

Рефлексия:

Какое действие оказалось самым трудным — определение типа, сложение, вычитание или умножение на число?

Слайд 11. Итоги урока и домашнее задание

Повторить понятия матрицы, размера, элемента и основных типов матриц.

Базовый уровень: определить размеры и типы двух матриц, найти элементы, сложить и вычесть матрицы одинакового размера.

Повышенный уровень: вычислить выражения $2A-B$ и $-3(A+B)$, составить матрицу по таблице продаж или температур.

Дополнительный уровень: привести два примера применения матриц и составить матрицу с пояснением строк и столбцов.