Квадратичная и дробно-линейная функции

Слайд 1. Квадратичная и дробно-линейная функции

Преобразование графиков • 10 класс

Слайд 2. Две функции — два знакомых графика

Формула: $y=a{x}^2+bx+c$, где $a\ne 0$.

График — парабола.

Главные элементы: вершина, ось симметрии, направление ветвей.

Формула: $y=\frac{k}{x-a}+b$, где $k\ne 0$.

График — гипербола.

Главные элементы: центр, вертикальная и горизонтальная асимптоты.

Слайд 3. Как меняется парабола

Начнём с базового графика $y=x^2$.

• Если $a>0$, ветви направлены вверх; если $a<0$ — вниз.

• Чем больше $|a|$, тем уже парабола.

• Число $c$ поднимает или опускает график.

Пример: график $y=2x^2-3$ — это парабола $y=x^2$, сжатая по вертикали и опущенная на $3$ единицы.

Слайд 4. Преобразования графика: читаем формулу слева направо

$y=f(x)+q$ — сдвиг вверх на $q$ или вниз на $|q|$.

$y=f(x-p)$ — сдвиг вправо на $p$.

$y=f(x+p)$ — сдвиг влево на $p$.

$y=mf(x)$ — растяжение или сжатие по вертикали.

$y=f(nx)$ — сжатие или растяжение по горизонтали.

Слайд 5. Вершина параболы — её ориентир

Для функции $y=a{x}^2+bx+c$ абсцисса вершины находится по формуле $x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}$.

Затем подставляем найденное значение в функцию и получаем $y_{\text{в}}$.

Пример: для $y=x^2-4x+3$ имеем $x_{\text{в}}=2$, $y_{\text{в}}=-1$. Значит, вершина — точка $(2;-1)$, а ось симметрии — прямая $x=2$.

Слайд 6. Дробно-линейная функция: гипербола вокруг асимптот

Слайд 7. Как построить гиперболу по формуле

Найди вертикальную асимптоту: знаменатель равен нулю. Для $y=\frac{k}{x-a}+b$ это $x=a$.

Найди горизонтальную асимптоту: $y=b$. Она показывает, к какой высоте приближается график.

Определи ветви по знаку $k$: при $k>0$ они расположены в первой и третьей четвертях относительно центра.

Слайд 8. Практический пример: распознаём преобразования

График $y=x^2$ сдвинут вправо на $3$ и вверх на $2$. Вершина: $(3;2)$.

Отражение графика $y=x^2$ относительно оси $Ox$ и растяжение по вертикали в $2$ раза.

Гипербола $y=\frac{1}{x}$ сдвинута влево на $2$ и вниз на $1$.

Ветви гиперболы находятся во второй и четвёртой четвертях: знак коэффициента изменился.

Слайд 9. Задание: объясни ход построения

1. Определи вид функции: парабола или гипербола.

2. Назови базовый график.

3. Найди сдвиги, отражения и растяжения.

4. Укажи ключевые элементы: вершину или асимптоты.

5. Сделай набросок и проверь одну точку.

Для тренировки: опиши преобразования функций $y=(x+1{)}^2-4$ и $y=\frac{2}{x-3}+1$.

Слайд 10. Главное запомнить

Квадратичная функция задаёт параболу, дробно-линейная — гиперболу.

Параметры формулы показывают направление и величину преобразований графика.

У параболы ищем вершину и ось симметрии.

У гиперболы сначала строим асимптоты и находим центр.

Любое построение полезно проверять несколькими точками.