Функции и графики

Слайд 1. Функции и графики

Гипербола, прямая и парабола

Алгебра, 10 класс

Слайд 2. Три базовых типа функций

График функции показывает, как каждому допустимому значению аргумента соответствует значение функции.

В 10 классе особенно важно распознавать форму графика и связывать её с формулой.

Слайд 3. Как узнать функцию по формуле

Общий вид: $y=kx+b$.

График — прямая.

Число $k$ задаёт наклон, а $b$ — ординату точки пересечения с осью $Oy$.

Общий вид: $y=a{x}^2+bx+c$, где $a\ne 0$.

График — парабола.

Знак $a$ определяет направление ветвей.

Слайд 4. Гипербола и её свойства

Функция обратной пропорциональности имеет вид $y=\frac{k}{x}$, где $k\ne 0$

Область определения: $x\ne 0$

График состоит из двух ветвей

Координатные оси являются асимптотами

При $k>0$ ветви расположены в I и III четвертях

При $k<0$ ветви расположены во II и IV четвертях

Слайд 5. Парабола: вершина и ось симметрии

Для функции $y=a(x-m{)}^2+n$ вершина параболы имеет координаты $(m;n)$.

Ось симметрии задаётся уравнением $x=m$. Если $a>0$, ветви направлены вверх; если $a<0$ — вниз.

Пример: у функции $y=2(x-1{)}^2-3$ вершина находится в точке $(1;-3)$.

Слайд 6. Как меняется график

В формуле $y=f(x)+n$ график смещается вдоль оси $Oy$ на $n$ единиц.

В формуле $y=f(x-m)$ график смещается вдоль оси $Ox$ на $m$ единиц.

Множитель перед функцией изменяет вертикальный масштаб и может отразить график.

Слайд 7. Сравним графики по ключевым признакам

Формула: $y=kx+b$. Нет разрывов, наклон постоянен.

Формула: $y=k/x$. Есть разрыв при $x=0$, присутствуют асимптоты.

Формула: $y=a{x}^2+bx+c$. Есть вершина и ось симметрии.

Для анализа используйте область определения, точки пересечения и направление изменения.

Слайд 8. Алгоритм построения графика

1. Определите вид функции и её основные параметры.

2. Найдите область определения и точки пересечения с осями координат.

3. Выберите несколько удобных значений аргумента и вычислите значения функции.

4. Отметьте полученные точки на координатной плоскости.

5. Соедините точки с учётом формы графика и проверьте результат.

Пример: $y=(x-1{)}^2-2$.

Вершина: $(1;-2)$, ось симметрии: $x=1$. Опорные точки: $(0;-1)$, $(2;-1)$, $(-1;2)$, $(3;2)$. Парабола направлена вверх.

Слайд 9. Задание для самопроверки

Для каждой функции определите тип графика и назовите его основные свойства:

$y=-3x+2$

$y=\frac{4}{x}$

$y=-(x+2{)}^2+1$

Затем укажите координаты вершины параболы и четверти, в которых расположены ветви гиперболы.

Слайд 10. Итоги

Прямая задаётся линейной функцией $y=kx+b$

Гипербола описывается функцией обратной пропорциональности $y=k/x$

Парабола является графиком квадратичной функции $y=a{x}^2+bx+c$

Формула позволяет определить форму графика и его свойства

Для построения важно находить опорные точки, вершину, асимптоты и точки пересечения с осями