Действительные числа

Слайд 1. Действительные числа

Алгебра и начала анализа, 10 класс

Слайд 2. История развития понятия числа

Натуральные числа (счёт)

Целые числа (долг и отсутствие)

Рациональные числа (деление целого)

Иррациональные числа (несоизмеримость)

Действительные числа (непрерывность)

Слайд 3. Рациональные числа

Число вида $\frac{m}{n}$, где $m\in \mathbb{Z}$, а $n\in \mathbb{N}$, называется рациональным. Любое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Например: $\frac{1}{4}=0,25$; $\frac{1}{3}=0,\mathrm{333...}=0,(3)$.

Слайд 4. Иррациональные числа

Иррациональные числа — это бесконечные непериодические десятичные дроби. Примеры: $\sqrt{2}\approx 1,\mathrm{4142...}$, $\pi \approx 3,\mathrm{1415...}$, $e\approx 2,\mathrm{7182...}$. Они не могут быть представлены в виде дроби $\frac{m}{n}$.

Слайд 5. Сравнение множеств

Периодические дроби: $0,\mathrm{1212...}$

Конечные дроби: $0,5$

Целые числа: $5=5,0$

Представимы как $\frac{m}{n}$

Непериодические дроби: $0,\mathrm{101101110...}$

Корни: $\sqrt{3},\sqrt[3]{5}$

Трансцендентные: $\pi ,e$

Непредставимы как $\frac{m}{n}$

Слайд 6. Числовая прямая

Слайд 7. Свойства сложения и умножения

Переместительный закон: $a+b=b+a$, $ab=ba$

Сочетательный закон: $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(ab)c=a(bc)$

Распределительный закон: $a(b+c)=ab+ac$

Существование нейтральных элементов: $a+0=a$, $a\cdot 1=a$

Существование обратных элементов: $a+(-a)=0$, $a\cdot \frac{1}{a}=1$ ($a\ne 0$)

Слайд 8. Модуль действительного числа

Геометрический смысл модуля — это расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число на числовой прямой. Расстояние всегда неотрицательно.

Слайд 9. Приближенные вычисления

Замена числа его приближенным значением с заданной точностью.

Абсолютная погрешность: $\Delta =|a-a_{\text{прибл}}|$.

$a=m\cdot 10^k$, где $1\le m<10$, $k\in \mathbb{Z}$.

Все цифры числа, начиная с первой ненулевой.

Слайд 10. Числа правят миром.

— Пифагор Самосский

Слайд 11. Бесконечная геометрическая прогрессия

Если $|q|<1$, то прогрессия называется бесконечно убывающей.

Сумма такой прогрессии: $S=\frac{b_1}{1-q}$.

Этот инструмент используется для перевода периодической дроби в обыкновенную.

Слайд 12. Пример: перевод $0,(3)$ в дробь

Пусть $x=0,\mathrm{333...}$

Тогда $10x=3,\mathrm{333...}$

Вычтем первое из второго:

$10x-x=3,\mathrm{333...}-0,\mathrm{333...}$

$9x=3\Rightarrow x=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.

Метод умножения на $10^k$ позволяет переводить любые периодические дроби.

Слайд 13. Алгоритм сравнения чисел

Определить знаки чисел. Любое положительное число больше любого отрицательного.

Записать числа в виде десятичных дробей с одинаковым количеством знаков.

Сравнивать поразрядно слева направо до первого несовпадения.

Слайд 14. Практические задания

1. Представьте число $\frac{5}{6}$ в виде бесконечной десятичной дроби.

2. Сравните числа $0,123$ и $0,12(3)$.

3. Найдите значение выражения $|\sqrt{3}-2|+|\sqrt{3}-1|$.

4. Запишите число $0,00045$ в стандартном виде.

Слайд 15. Итоги темы

Множество действительных чисел $\mathbb{R}$ — объединение рациональных и иррациональных чисел.

Любое действительное число можно представить бесконечной десятичной дробью.

Действительные числа полностью заполняют числовую прямую.

Для $\mathbb{R}$ справедливы все основные законы арифметики.