Сочетания и число сочетаний
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать задачи на сочетания, вычислять число сочетаний $C_n^k$ по формуле и применять полученный алгоритм при решении не менее трёх задач, включая задачу в формате ОГЭ.
- Сформировать представление о сочетаниях как о способах выбрать $k$ объектов из $n$, когда порядок выбора не имеет значения.
- Научить отличать сочетания от размещений и перестановок по смыслу условия задачи.
- Развивать умение анализировать условие, выбирать математическую модель, выполнять вычисления и проверять разумность ответа.
- Показать связь комбинаторики с информатикой, статистикой, организацией выборки и практическими задачами экзамена.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать практическую ценность комбинаторных методов для принятия решений, анализа данных и профессиональных задач.
- Снижать тревожность перед заданиями ОГЭ через освоение понятного алгоритма распознавания и решения задач.
- Проявлять ответственность за точность вычислений и готовность проверять полученный результат.
- Формировать положительное отношение к совместному поиску решения и аргументированному обсуждению ошибок.
Метапредметные
- Извлекать из текста задачи существенные данные и переводить их на язык математической модели.
- Планировать решение по алгоритму: определить роль порядка, выбрать формулу, вычислить значение, проверить ответ.
- Сравнивать различные способы решения и аргументированно объяснять выбор сочетаний.
- Осуществлять самоконтроль по эталону и корректировать найденные ошибки.
- Использовать таблицу или калькулятор для проверки вычислений, соблюдая требования к записи решения.
Предметные
- Знать смысл понятия «сочетание» и обозначение числа сочетаний $C_n^k$.
- Знать и применять формулу $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ при допустимых значениях $0\leq k\leq n$.
- Уметь находить числа сочетаний для небольших значений $n$ и $k$ без избыточных вычислений.
- Уметь распознавать задачи, в которых выбираются объекты без учёта порядка.
- Уметь решать практические и экзаменационные задачи на число сочетаний и записывать обоснованный ответ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к решению задач на комбинаторику.
- Осознают смысл изучаемого способа через связь с выбором команды, комиссии и элементов выборки.
- Принимают необходимость точной записи формулы и проверки результата.
- Оценивают собственный прогресс без сравнения с одноклассниками.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока и составляют план решения комбинаторной задачи.
- Контролируют соответствие выбранной формулы смыслу условия.
- Сверяют вычисления с эталоном и находят место ошибки.
- Оценивают достижение цели по листу самооценки и определяют следующий шаг.
Познавательные УУД
- Выделяют признак сочетаний: выбираются объекты, а порядок их выбора не важен.
- Сравнивают задачи на перестановки, размещения и сочетания.
- Строят математическую модель практической ситуации.
- Используют формулу, таблицу значений и разложение факториалов для вычислений.
- Анализируют избыточные и недостаточные данные в условии задачи.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, почему в конкретной задаче порядок объектов не учитывается.
- Задают уточняющие вопросы к условию и формулировке решения.
- Распределяют роли в паре при проверке задания.
- Аргументированно принимают или опровергают предложенный способ решения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с жизненными ситуациями: выбор комиссии, команды и элементов статистической выборки.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика и по одной дополнительной карточке на пару.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я понимаю смысл сочетания», «Я выбираю формулу», «Я вычисляю $C_n^k$», «Я проверяю ответ».
- Вывести на доску памятку: «Порядок важен — не сочетания; порядок не важен — проверить сочетания».
- Подготовить таблицу значений небольших сочетаний для самопроверки: $C_4^2$, $C_5^2$, $C_6^3$, $C_7^2$.
- Подготовить таймер на 3 минуты для парной работы и 5 минут для самостоятельной работы.
- Распечатать мини-билеты на выход — по одному на каждого ученика.
- Подготовить проектор или интерактивную доску, маркеры двух цветов и калькуляторы при наличии разрешения.
- Продумать межпредметную связь с информатикой и статистикой: выбор элементов массива и формирование репрезентативной выборки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и показать практическую ценность нового способа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем изучать способ, который помогает быстро считать количество возможных выборов. Он встречается в задачах ОГЭ, в статистике, информатике и при организации соревнований. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и карточка для заметок." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: "Из шести учеников нужно выбрать трёх дежурных. Сколько разных троек можно составить? Важно: тройка Иван, Ольга, Сергей — это та же тройка, что Ольга, Сергей, Иван. Подумайте, почему простой перебор может привести к повторениям." | Индивидуально обдумывают ситуацию, затем формулируют: "Порядок выбора не важен, поэтому одну и ту же тройку можно посчитать несколько раз". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели задачу, где нужно выбрать несколько объектов, но порядок выбранных объектов значения не имеет. Сейчас выясним, как называется такой выбор и как быстро находить его количество."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания о факториале и различии между выбором с учётом и без учёта порядка.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: "Запишите и вычислите устно: $3!$, $4!$, $5!$. Что означает факториал натурального числа? Напомните, как число способов зависит от того, учитываем ли мы порядок объектов." | Записывают вычисления: "$3!=6$, $4!=24$, $5!=120"; формулируют: "Факториал — произведение всех натуральных чисел от 1 до данного числа". |
3 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сравните две ситуации: выбрать председателя и секретаря из пяти человек; выбрать двух представителей из пяти человек. В первой ситуации порядок ролей важен, во второй — нет. Обсудите, чем будут отличаться способы подсчёта." | Сначала думают самостоятельно, затем обсуждают в парах и сообщают: "В первой ситуации люди получают разные роли, во второй образуют просто пару; поэтому способы подсчёта различаются". |
Запись в тетрадях
Факториал: $n!=1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot n$. В задачах важно установить, учитывается ли порядок выбранных объектов.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили факториал и увидели, что смысл условия определяет способ подсчёта. Теперь зафиксируем признак нового вида комбинаций."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать проблему и совместно определить алгоритм её решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: «Из 5 книг выбрать 2 для выставки». Затем спрашивает: "Является ли выбор книг А и Б отличным от выбора книг Б и А? Что нужно считать: упорядоченные пары или неупорядоченные пары?" | Отвечают: "Это одна и та же пара, потому что книги просто выбраны для выставки. Порядок не важен". |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Как составить формулу, которая не будет считать одну и ту же группу несколько раз? Сформулируйте цель урока и предложите план действий." | Формулируют цель: "Научиться находить количество неупорядоченных выборок"; предлагают план: определить признак, записать формулу, решить задачи, проверить ответы. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема ясна: нужно учитывать выбор группы только один раз. Перейдём к открытию понятия сочетания и выводу формулы его количества."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: ввести понятие сочетания, формулу числа сочетаний и алгоритм распознавания задачи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует на доске пять карточек с буквами А, Б, В, Г, Д и говорит: "Выберем две карточки. Пара АБ совпадает с парой БА, потому что порядок не имеет значения. Такие выборки называются сочетаниями из $n$ элементов по $k$. Число сочетаний обозначают $C_n^k$." | Записывают определение: сочетанием из $n$ элементов по $k$ называется выбор $k$ элементов из $n$, при котором порядок выбранных элементов не учитывается. |
4 мин | Учитель записывает формулу и поясняет: "Число сочетаний вычисляется так: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$. В знаменателе появляется $k!$, потому что одинаковую группу можно переставить внутри себя $k!$ способами, но эти перестановки не создают новых сочетаний. Рассмотрим $C_5^2=\frac{5!}{2!3!}=10$." | Записывают формулу и пример, проговаривают: "$n$ — общее число объектов, $k$ — сколько объектов выбираем; $k!$ устраняет повторный счёт порядка внутри группы". |
3 мин | Учитель предлагает алгоритм: "Первый шаг — прочитайте условие и найдите, выбираются ли объекты. Второй — спросите: важен ли порядок? Если нет, используйте сочетания. Третий — определите $n$ и $k$, подставьте их в формулу и проверьте, что ответ не превышает общего числа вариантов." | Составляют в тетради алгоритм из трёх шагов, применяют его к ситуации «из 7 участников выбрать 3 для комиссии», отвечают: "$n=7$, $k=3$, порядок не важен, нужны сочетания". |
Запись в тетрадях
Сочетание — выбор $k$ элементов из $n$, при котором порядок выбранных элементов не учитывается. Формула: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Алгоритм: определить $n$ и $k$; проверить, важен ли порядок; применить формулу; проверить ответ.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли главный признак сочетаний — порядок не учитывается — и получили формулу. Теперь проверим новый способ на конкретной задаче и проговорим каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление и межпредметная связь (8 мин)
Цель этапа: закрепить формулу через решение практической задачи и связать сочетания со статистикой и информатикой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт парам карточку: "В школьном исследовании из 8 девятиклассников нужно выбрать 3 участников для опроса. Сколько различных троек можно выбрать? Объясните, почему порядок не важен." Учитель напоминает: "Сначала выпишите $n$ и $k$, затем формулу и вычисления." | В парах определяют $n=8$, $k=3$, записывают $C_8^3=\frac{8!}{3!5!}=\frac{6\cdot7\cdot8}{6}=56$, формулируют ответ: "Можно выбрать 56 различных троек". |
2 мин | Учитель устанавливает межпредметную связь: "В информатике при формировании набора данных можно выбрать несколько записей из массива, если порядок записей не меняет состав набора. В статистике похожим образом формируют выборку из генеральной совокупности. Почему нельзя считать перестановки одной и той же выборки разными вариантами?" | Отвечают: "Потому что состав выборки остаётся тем же; меняется только порядок перечисления". |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями. Проверьте четыре позиции: указаны ли $n$ и $k$, верно ли определён порядок, записана ли формула, совпадает ли вычисление с ответом. Поставьте две звезды за верные элементы и одно пожелание, если есть исправление." | Проверяют решение партнёра по четырём критериям, записывают две сильные стороны и одно конкретное пожелание. |
Эталон решения
В задаче выбираются 3 участника из 8, порядок перечисления участников не важен. Поэтому используется сочетание: $C_8^3=\frac{8!}{3!\cdot5!}=\frac{6\cdot7\cdot8}{6}=56$. Ответ: 56 троек.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы применили сочетания к выбору участников исследования и увидели связь с формированием статистической выборки. Теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли распознавать такие задачи без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение понятием и формулой числа сочетаний.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт задания трёх уровней. Базовый: "Вычислите $C_6^2$ и $C_7^2$." Средний: "Из 9 кандидатов выбрать 4 в комиссию. Сколько вариантов?" Повышенный: "В группе 10 человек нужно выбрать 3 докладчиков. Один конкретный ученик обязательно должен войти в тройку. Сколько вариантов выбора?" Учитель говорит: "Выберите уровень по своей готовности; базовый обязателен, средний и повышенный можно выполнять дополнительно." | Индивидуально решают выбранные задания, записывают формулу, подстановку и ответ; при затруднении отмечают место вопросительным знаком. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "$C_6^2=15$, $C_7^2=21$, $C_9^4=126$. В задаче с обязательным участником нужно выбрать ещё 2 из оставшихся 9: $C_9^2=36$." Затем просит: "Сверьте не только ответ, но и ход решения. Если ошибка есть, обведите её и исправьте другой ручкой." | Сверяют решения с эталоном, находят расхождения, исправляют вычисления или выбор формулы. |
2 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если уверенно определяете сочетания, жёлтую — если нужна тренировка вычислений, красную — если пока не понимаете, почему порядок не учитывается." | Показывают карточки, фиксируют в листе самооценки пункт, требующий повторения. |
Эталон решения
$C_6^2=\frac{6!}{2!4!}=\frac{5\cdot6}{2}=15$. $C_7^2=\frac{7!}{2!5!}=\frac{6\cdot7}{2}=21$. Для выбора комиссии $C_9^4=\frac{9!}{4!5!}=126$. Если один участник уже выбран, остаётся выбрать 2 человек из 9: $C_9^2=\frac{9\cdot8}{2}=36$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная работа показала, что алгоритм уже можно применять самостоятельно. В конце урока сформулируем главное правило и проверим, сможете ли вы объяснить его своими словами."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознать результат урока, выявить затруднения и получить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход и говорит: "Ответьте письменно на два вопроса: 1) Какой признак показывает, что нужна формула сочетаний? 2) Чему равно $C_5^2$? Запишите ответы кратко, но с пояснением." | Пишут: "Порядок выбранных объектов не важен" и "$C_5^2=10$", сдают билет при выходе. |
1 мин | Учитель просит завершить фразу: "Сегодня я научился...; мне нужно потренировать..." и напоминает: "Ошибки в вычислениях исправимы; главное — правильно определить смысл задачи." | Заполняют две фразы в листе самооценки. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень. Желающие выполняют средний или продвинутый. Перед началом решения обязательно указывайте, почему порядок выбора не учитывается." | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, уточняют содержание задания. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились распознавать сочетания и находить их количество по формуле. На следующем уроке мы продолжим решать комбинаторные задачи и сравним сочетания с другими способами подсчёта вариантов."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены базовое и среднее задания либо все три задания выбранного уровня, правильно определены $n$ и $k$, обосновано отсутствие учёта порядка, вычисления и ответы записаны без ошибок.
- «4» — верно решены два задания, формула выбрана правильно, но допущена одна вычислительная ошибка или неполное пояснение.
- «3» — верно выполнено базовое задание или одна задача среднего уровня при наличии записи формулы и частичного объяснения выбора сочетаний.
- Оценка может быть повышена при самостоятельном исправлении ошибки по эталону с письменным пояснением причины ошибки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как по условию понять, что нужно использовать сочетания? | Выявление понимания ключевого признака: порядок выбора не важен. |
Какие величины обозначают $n$ и $k$ в формуле $C_n^k$? | Проверка понимания структуры формулы и математической модели. |
Какое место алгоритма оказалось самым сложным: выбор формулы, подстановка или вычисление? | Выявление конкретной точки затруднения для последующей коррекции. |
Насколько уверенно вы решите аналогичную задачу ОГЭ: уверенно, с подсказкой или пока неуверенно? | Субъективная оценка готовности и снижение экзаменационной тревожности через планирование дальнейшей тренировки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы разобрались, что сочетание — это выбор нескольких объектов, когда порядок выбранных объектов не создаёт нового варианта. Мы научились находить $C_n^k$ и применять формулу к задачам о комиссиях, командах и статистических выборках. Помните о типичной ошибке: нельзя использовать сочетания, если выбранные объекты получают разные роли или порядок имеет значение. На следующем уроке мы продолжим сравнивать комбинаторные модели и потренируемся распознавать их в заданиях экзаменационного формата."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на вычисление числа сочетаний $C_n^k$ для небольших значений $n$ и $k$, а также одну задачу на выбор комиссии или команды из заданного числа участников. В каждом решении указать, почему порядок не важен. | Закрепляет формулу и распознавание сочетаний; при проверке обратить внимание на правильное определение $n$, $k$ и отсутствие лишнего учёта порядка. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 задач практического и экзаменационного типа: выбор участников исследования, набора объектов и подгруппы с одним обязательным участником. Для каждой задачи записать краткий алгоритм решения. | Формирует перенос способа на разные контексты; при проверке смотреть на осознанный выбор модели, а не только на числовой ответ. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить две собственные задачи на сочетания: одну связанную со статистической выборкой, другую — с информатикой или выбором команды. Для каждой указать изменится ли ответ, если учитывать порядок. | Развивает создание математической модели, межпредметное применение и умение сравнивать сочетания с другими видами комбинаций. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют сочетанием? Когда порядок не учитывается? Что обозначают $n$ и $k$ в формуле? Почему в задаче о комиссии используется $C_n^k$, а в задаче о распределении ролей может потребоваться другой способ подсчёта?»
