Геометрическая вероятность. Случайный выбор точки из отрезка и дуги
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить вероятность попадания случайно выбранной точки в часть отрезка или дуги, используя отношение длины благоприятной части к длине всего геометрического объекта, и решить не менее трёх практических задач с самопроверкой.
- Сформировать представление о геометрической вероятности как отношении меры благоприятной области к мере всей области: для отрезка — отношении длин, для дуги — отношении длин дуг.
- Научить выделять в условии всё множество возможных исходов и благоприятное множество, составлять математическую модель и проверять, что вероятность находится в пределах от 0 до 1.
- Развивать умение читать условие задачи из учебника, объяснять ход решения партнёру, находить и исправлять ошибки в вычислениях.
- Показать связь темы с заданиями ОГЭ и снизить тревожность через пошаговый алгоритм решения и задания трёх уровней сложности.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность вероятностного мышления при оценке случайных событий и принятии решений.
- Понимают, что сложную задачу можно решать по понятному алгоритму, последовательно выделяя известные величины и искомую вероятность.
- Проявляют ответственность за самостоятельную работу и доброжелательность при обсуждении решения с одноклассниками.
- Снижают эмоциональное напряжение перед экзаменационными заданиями, воспринимая ошибку как источник для коррекции способа действия.
Метапредметные
- Познавательные: извлекают информацию из текста задачи, выделяют условие и требование, строят математическую модель ситуации.
- Регулятивные: принимают учебную цель, планируют решение по алгоритму, выполняют самопроверку и исправляют ошибки.
- Коммуникативные: формулируют объяснение решения, задают уточняющие вопросы, сравнивают способы рассуждения в паре.
- Используют смысловое чтение и математическую грамотность при работе с учебником, схемами отрезков и дуг.
- Применяют критерии проверки: правильно определены длины, записана формула, выполнено вычисление, результат находится в промежутке от 0 до 1.
Предметные
- Знать смысл геометрической вероятности и формулы $P(A)=\frac{m}{M}$, где $m$ — мера благоприятной части, а $M$ — мера всего множества.
- Уметь находить вероятность попадания случайной точки в часть отрезка по отношению длин соответствующих отрезков.
- Уметь находить вероятность выбора точки из части дуги по отношению длины благоприятной дуги к длине всей дуги.
- Уметь решать текстовые задачи, в которых случайный выбор точки задан на отрезке или дуге.
- Уметь объяснять решение и проверять правдоподобие ответа по условию $0\leq P(A)\leq1$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень понимания алгоритма и выбирают посильный уровень самостоятельного задания.
- Осознают значение аккуратной записи условия и решения для успешного выполнения экзаменационной работы.
- Проявляют готовность спокойно анализировать ошибку и принимать помощь одноклассника или учителя.
- Связывают изучаемый материал с реальными ситуациями случайного выбора и измерения расстояний.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемного вопроса.
- Планируют решение: определить всё множество, выделить благоприятную часть, измерить, применить формулу, проверить ответ.
- Контролируют соответствие выбранной формулы условию задачи.
- Оценивают результат по критериям и корректируют ошибочный шаг.
- Определяют, какое действие алгоритма требует дополнительной тренировки.
Познавательные УУД
- Сравнивают классическую и геометрическую модели вероятности.
- Выделяют существенные данные из текста и рисунка.
- Моделируют случайный выбор точки на отрезке или дуге.
- Устанавливают зависимость вероятности от отношения длин, а не от абсолютного размера фигуры.
- Переносят алгоритм решения на новую задачу и анализируют типичную ошибку.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, какая часть объекта является благоприятной.
- Согласовывают в паре обозначения и последовательность решения.
- Формулируют вопросы к условию задачи и аргументируют выбор формулы.
- Корректно сравнивают решения и дают обратную связь по критериям.
- Представляют классу краткое доказательство полученного ответа.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить учебник по вероятности и статистике: заранее выбрать фрагмент, где вводится геометрическая вероятность, и два задания на отрезок и дугу; номера страниц и заданий в конспекте не фиксировать.
- Распечатать карточки трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить карточки с изображениями отрезков и дуг, на которых отмечены благоприятные части; по одной карточке на пару.
- Вывести на доску или слайд алгоритм: «1. Всё множество исходов. 2. Благоприятная часть. 3. Их меры. 4. Формула. 5. Проверка».
- Записать на доске формулы $P(A)=\frac{m}{M}$, $P(A)=\frac{l_{благ}}{l_{общ}}$ и условие $0\leq P(A)\leq1$.
- Подготовить цветные маркеры: синим обозначить весь отрезок или дугу, красным — благоприятную часть.
- Распечатать лист самопроверки с четырьмя критериями: модель, измерения, формула, вычисления и ответ.
- Подготовить проектор или интерактивную доску для показа схем и таймер на 2–3 минуты.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор»: зелёный — понял, жёлтый — нужна тренировка, красный — требуется объяснение.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу, показать практическую и экзаменационную значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, учебник и карточка должны лежать перед вами. Сегодня мы будем решать задачу, которая сначала выглядит необычно, но решается по очень короткому алгоритму. На доске записана тема урока — прочитайте её и предположите, что именно может быть случайным». | Проверяют готовность, читают тему, формулируют предположения: «Случайным может быть место, куда попадёт точка»; «Нельзя заранее знать, в какой части отрезка окажется точка». |
2 мин | Учитель показывает на доске отрезок, разделённый на части, и говорит: «Представьте, что точка выбирается случайно на всём отрезке. Нас интересует событие: точка попала в выделенную часть. Как вы думаете, от чего зависит вероятность — от длины всего отрезка, от длины выделенной части или от их отношения? Запишите предположение одним предложением». | Индивидуально записывают гипотезу, затем обсуждают её с соседом 30 секунд и предлагают формулировку: «Чем больше благоприятная часть по сравнению со всем отрезком, тем выше вероятность». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что случайный выбор может быть связан не только с монетой или кубиком. Сейчас выясним, как измерения отрезков и дуг помогают вычислять вероятность и где этот способ встречается в заданиях ОГЭ».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания о вероятности, длине отрезка, длине дуги и дробном отношении величин.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит устную разминку: «Назовите границы вероятности события. Что означает вероятность 0? Что означает вероятность 1? Если благоприятных исходов меньше, чем всех возможных, каким будет отношение?». Учитель фиксирует ответы на доске. | Отвечают: «Вероятность находится от 0 до 1»; «0 — событие невозможно»; «1 — событие достоверно»; «Отношение будет дробью от 0 до 1». |
3 мин | Учитель показывает схему: отрезок $AB=10$ см, выделенный отрезок $CD=3$ см. «Как найти отношение длины выделенной части к длине всего отрезка? Почему нельзя записать наоборот? А если на окружности выделена дуга длиной 4 см, а вся рассматриваемая дуга имеет длину 12 см, какое отношение используем?». | Выполняют устно вычисления $\frac{3}{10}$ и $\frac{4}{12}$, объясняют: «В числителе должна быть благоприятная часть, в знаменателе — весь объект». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили границы вероятности и смысл отношения части к целому. Теперь проверим, достаточно ли этих знаний для новой ситуации и какое затруднение возникает при случайном выборе точки».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить необходимость новой модели и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: «На отрезке длиной 12 см случайно выбирают точку. Найдите вероятность того, что она окажется на участке длиной 5 см». Затем показывает аналогичный рисунок с дугой: «На дуге длиной 18 см случайно выбирают точку. Благоприятной является дуга длиной 6 см. Можно ли рассуждать тем же способом?». | Записывают известные величины, предлагают решение $\frac{5}{12}$ и $\frac{6}{18}$, но уточняют: «Нужно понять, почему отношение длин действительно является вероятностью». |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: «Как построить универсальный алгоритм для отрезка и дуги? Что должно быть общим у этих задач? Сформулируйте цель урока, используя слова “научиться находить вероятность”». | Формулируют цель: «Научиться находить вероятность попадания случайной точки в часть отрезка или дуги через отношение длин». Записывают цель в тетрадь. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проблема поставлена: нам нужно обосновать и применять единый способ для разных геометрических объектов. Откройте учебник на разделе по геометрической вероятности и найдите определение, с которым мы сейчас сопоставим нашу гипотезу».
Этап 4. Открытие нового знания по учебнику (9 мин)
Цель этапа: вывести формулу геометрической вероятности и применить её к отрезку и дуге.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует чтение с остановками: «Прочитайте в учебнике фрагмент, где вводится геометрическая вероятность. После первого абзаца остановитесь и подчеркните, что считается всем множеством исходов, а что — благоприятной частью. Не переписывайте весь текст: выделите два ключевых словосочетания». | Читают фрагмент, подчёркивают «весь отрезок» и «благоприятная часть», формулируют: «Все возможные точки лежат на заданном объекте, благоприятные — на его части». |
3 мин | Учитель строит вывод на доске: «Если точка равновероятно может попасть в любую часть объекта, то вероятность определяется долей благоприятной части. Для отрезка мерой служит длина. Записываем: $P(A)=\frac{l_{благ}}{l_{общ}}$. Обратите внимание: в числителе всегда то, что требуется в событии». | Записывают формулу, подписывают $l_{благ}$ и $l_{общ}$, объясняют формулу по схеме: «Длина нужного участка делится на длину всего отрезка». |
3 мин | Учитель показывает дугу и говорит: «Для дуги рассуждение не меняется. Мерой объекта является длина дуги. Если вся дуга имеет длину 20 см, а благоприятная часть — 7 см, то вероятность равна $\frac{7}{20}$. Если длины заданы углами одной и той же окружности, можно использовать отношение углов: $P(A)=\frac{\alpha_{благ}}{\alpha_{общ}}$. Почему это допустимо?». | Решают пример в тетради, отвечают: «У дуг одной окружности длины пропорциональны их центральным углам». Сравнивают формулы для отрезка и дуги. |
Запись в тетрадях
Геометрическая вероятность — отношение меры благоприятной части к мере всего множества возможных исходов: $P(A)=\frac{m_{благ}}{m_{общ}}$. Для отрезка: $P(A)=\frac{l_{благ}}{l_{общ}}$. Для дуги: $P(A)=\frac{l_{благой\ дуги}}{l_{всей\ дуги}}$ или, для дуг одной окружности, $P(A)=\frac{\alpha_{благ}}{\alpha_{общ}}$. Алгоритм: определить весь объект; выделить благоприятную часть; найти их длины или углы; составить отношение; проверить $0\leq P(A)\leq1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли единый принцип: вероятность — это доля благоприятной длины в общей длине. Теперь проговорим алгоритм вслух и применим его к задачам, сначала вместе, затем самостоятельно».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм на задачах с отрезком и дугой с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: «На отрезке длиной 15 см случайно выбирают точку. Найдите вероятность попадания на участок длиной 4 см». Инструкция: «Первый ученик называет шаги алгоритма, второй записывает решение, затем поменяйтесь ролями. Через две минуты сравните запись с эталоном на доске». | В парах выделяют весь отрезок и благоприятный участок, записывают $P(A)=\frac{4}{15}$, проговаривают: «Весь объект — 15 см, благоприятная часть — 4 см». |
2 мин | Учитель предлагает вторую задачу: «На дуге длиной 24 см случайно выбирают точку. Благоприятный участок дуги имеет длину 9 см. Найдите вероятность события». Учитель просит одну пару объяснить решение у доски. | Решают $P(A)=\frac{9}{24}=\frac{3}{8}$, объясняют сокращение дроби и называют ответ. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку по критериям: «Проверьте у партнёра четыре пункта: определён объект, выделена благоприятная часть, формула записана верно, ответ не превышает единицу. Поставьте две отметки “верно” и один совет, если он нужен». | Проверяют решения друг друга, находят возможные ошибки в числителе или знаменателе, формулируют совет: «Укажи, какая длина является общей». |
Эталон решения
1. Все возможные исходы — точки всего отрезка или всей дуги. 2. Благоприятные исходы — точки выделенного участка. 3. Для отрезка $l_{общ}=15$ см, $l_{благ}=4$ см, поэтому $P(A)=\frac{4}{15}$. 4. Для дуги $l_{общ}=24$ см, $l_{благ}=9$ см, поэтому $P(A)=\frac{9}{24}=\frac{3}{8}$. Оба ответа находятся между 0 и 1.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы применили формулу сначала к отрезку, затем к дуге и убедились, что алгоритм не меняется. Следующий шаг — решить подобные задачи самостоятельно, как на экзамене, без подсказки партнёра».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и выявить типичные ошибки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет дифференциацию: «Выберите карточку по готовности. Уровень 1 — обязательный минимум, уровень 2 — повышающий, уровень 3 — дополнительный. Ошибка не снижает вашу ценность: она показывает, какой шаг алгоритма нужно уточнить. Работайте самостоятельно, на карточке записывайте полное решение». | Выбирают карточку, записывают фамилию и начинают выполнение. |
5 мин | Учитель наблюдает и адресно задаёт вопросы: «Что является всем множеством? Какая часть благоприятна? Какая мера у объекта дана — длина или угол? Не перепутаны ли числитель и знаменатель?». Задания: уровень 1 — две задачи на отрезок и дугу; уровень 2 — задача с углами дуг одной окружности; уровень 3 — задача, где требуется найти длину благоприятного участка по заданной вероятности. | Решают выбранный комплект. Например: «На отрезке длиной 18 см выделен участок 7 см»; «На дуге 90° благоприятна дуга 30°»; «Вероятность попадания на участок длиной 6 см равна $\frac{2}{5}$, найдите длину всего отрезка». |
2 мин | Учитель открывает эталон: «Сверьте не только ответ, но и модель. Отметьте каждый правильно выполненный шаг. Если нашли ошибку, зачеркните только ошибочный переход и исправьте его рядом». | Проверяют решения по эталону, ставят отметки напротив пунктов «объект», «благоприятная часть», «формула», «вычисление». |
2 мин | Учитель проводит «Светофор»: «Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно решить задачу на отрезок и дугу; жёлтую — если алгоритм понятен, но нужна тренировка; красную — если неясно, что считать общей частью. По красным и жёлтым сигналам я дам пояснение после урока». | Показывают цвет карточки, записывают в листе самооценки: «Я умею...», «Мне нужно повторить...». |
Эталон решения
Для задачи с вероятностью $\frac{2}{5}$ и благоприятной длиной 6 см: $\frac{6}{l_{общ}}=\frac{2}{5}$. Перемножаем крест-накрест: $30=2l_{общ}$. Тогда $l_{общ}=15$ см. Проверка: $\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$, ответ корректен.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что главное затруднение обычно связано не с вычислением, а с определением общей и благоприятной частей. В завершение применим знание к экзаменационному формату и сформулируем, как избежать этой ошибки».
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (7 мин)
Цель этапа: обобщить способ решения, связать его с заданиями ОГЭ и оценить достижение цели урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает мини-задачу экзаменационного типа: «Случайным образом выбирают точку на дуге длиной 120°. Найдите вероятность того, что точка попадёт на дугу 45°. Запишите только решение и ответ, затем объясните, почему отношение составлено именно так». | Записывают $P(A)=\frac{45}{120}=\frac{3}{8}$, объясняют: «Вся дуга 120°, благоприятная дуга 45°». |
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: «Что общего у задач про отрезок и дугу? Какую типичную ошибку нужно исключить на ОГЭ?». Учитель фиксирует на доске ключевые слова: «часть к целому», «не наоборот», «проверка от 0 до 1». | Формулируют вывод: «В обоих случаях берём отношение меры благоприятной части к мере всего объекта»; «Нельзя делить общую длину на благоприятную». |
2 мин | Учитель проводит приём «Одноминутная бумага»: «За одну минуту допишите три фразы: “Сегодня я понял…”, “Теперь я умею…”, “Мне нужно потренировать…”. На выходе сдайте листок». | Пишут три фразы, оценивают собственное продвижение и сдают листок учителю. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы научились измерять вероятность длиной благоприятной части относительно длины всего объекта. Вы уже умеете решать базовые задачи формата ОГЭ; теперь важно закрепить точность выбора числителя и знаменателя».
Этап 8. Домашнее задание и итог урока (0 мин)
Цель этапа: зафиксировать домашнее задание и дать ученикам понятный ориентир для дальнейшей тренировки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
— | Учитель сообщает домашнее задание: «Выберите уровень по результатам самостоятельной работы. Используйте материал соответствующего раздела учебника, но перепишите условия выбранных задач в тетрадь полностью. В каждом решении обязательно укажите весь объект, благоприятную часть, формулу и проверку». | Записывают задание, отмечают выбранный уровень и задают уточняющие вопросы по формату записи. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все задания выбранной карточки, правильно выделены общий объект и благоприятная часть, формула записана без ошибок, вычисления выполнены корректно, дан ответ и проведена проверка $0\leq P(A)\leq1$.
- «4» — решены все основные задания, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на понимание алгоритма.
- «3» — правильно определена модель и записана формула хотя бы в одной задаче, но допущены ошибки в измерениях, сокращении дроби или окончательном ответе.
- Ниже «3» — не определены общий объект и благоприятная часть либо вероятность составлена как отношение целого к части; требуется повторное объяснение алгоритма с опорой на схему.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что является всей совокупностью возможных исходов при выборе точки из отрезка или дуги? | Проверка понимания математической модели и определения общего объекта. |
Какую длину или угол нужно поставить в числитель формулы? | Выявление риска перепутать благоприятную и общую части. |
Как вы проверите, что найденная вероятность правдоподобна? | Формирование навыка самоконтроля по условию $0\leq P(A)\leq1$. |
Какое действие алгоритма вам нужно потренировать? | Определение индивидуальных затруднений и планирование коррекции. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились находить геометрическую вероятность для случайной точки на отрезке и дуге. Главное правило звучит так: вероятность равна отношению благоприятной длины к длине всего объекта. Самая частая ошибка — поменять числитель и знаменатель, поэтому всегда сначала подписывайте, что является целым, а что — частью. На следующем уроке мы продолжим решать задачи и будем усложнять условия, сохраняя тот же алгоритм. Помните: уверенное решение начинается не с быстрого счёта, а с правильной модели».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: две на случайный выбор точки из отрезка и две на случайный выбор точки из дуги, где известны длины общей и благоприятной частей. В каждом решении записать формулу и выполнить проверку границ вероятности. | Закрепляет базовый алгоритм и правильное составление отношения части к целому; при проверке смотреть на числитель и знаменатель. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи: одну на дуги одной окружности с заданными центральными углами, одну на нахождение общей длины по вероятности и благоприятной длине, одну задачу экзаменационного типа с рисунком. | Развивает перенос формулы на новые данные и умение восстанавливать неизвестную величину; при проверке смотреть на обоснование каждого преобразования. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу о случайном выборе точки из отрезка или дуги, в которой искомой является длина благоприятной части. Добавить рисунок, краткое решение и проверку ответа. | Формирует умение создавать математическую модель и объяснять взаимосвязь вероятности, общей меры и благоприятной меры. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как записывается формула геометрической вероятности? Что является общим объектом при выборе точки из дуги? Почему вероятность не может быть больше 1? Какую величину нужно поставить в числитель, если событие состоит в попадании на выделенный участок?»
