Вычисление вероятностей с использованием комбинаторных функций электронных таблиц
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться с помощью электронных таблиц вычислять число сочетаний и перестановок, составлять по ним отношение благоприятных исходов к числу всех исходов и проверять полученный ответ в задачах вероятностного типа, близких к формату ОГЭ.
- Закрепить понятия равновероятных исходов, благоприятного исхода, сочетания и перестановки.
- Научиться выбирать комбинаторную функцию электронных таблиц для конкретного условия задачи и корректно записывать формулу.
- Развивать умение анализировать условие, переводить его на математическую модель и проверять разумность результата.
- Формировать уверенность при решении практических задач, связанных с экзаменационными заданиями, и ответственное отношение к цифровым инструментам.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать практическую ценность вероятностных расчётов и электронных таблиц для учёбы и будущей профессиональной деятельности.
- Снижать тревожность перед заданиями ОГЭ через пошаговую проверку результата и работу с типичными ошибками.
- Проявлять самостоятельность, настойчивость и ответственное отношение к цифровым данным.
- Понимать, что компьютерная формула требует осмысленного выбора математической модели.
Метапредметные
- Извлекать из текста задачи данные о числе всех и благоприятных исходов.
- Планировать последовательность решения: модель — комбинаторный подсчёт — формула вероятности — проверка.
- Сотрудничать в паре, объяснять выбор функции и корректно обсуждать найденную ошибку.
- Использовать электронную таблицу для вычислений, форматирования результата и самопроверки.
- Сопоставлять результат электронного вычисления с оценкой его смысла: вероятность находится в пределах от 0 до 1.
Предметные
- Знать смысл функций ЧИСЛОСОЧЕТАНИЙ и ФАКТР в русскоязычной электронной таблице либо их аналогов в используемом программном обеспечении.
- Уметь распознавать задачи на выбор объектов без учёта порядка и задачи на упорядочивание объектов.
- Уметь вычислять вероятность по формуле $P(A)=\frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — число всех равновероятных исходов.
- Уметь составлять и копировать формулы электронных таблиц, проверять синтаксис и округлять ответ.
- Владеть алгоритмом решения практической задачи вероятностного типа с использованием комбинаторных функций.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель практической работы: научиться уверенно решать задания вероятностного типа.
- Осознают связь точности вычислений с качеством принимаемого решения.
- Формируют положительное отношение к самостоятельной проверке и исправлению ошибок.
- Оценивают собственную готовность к выполнению аналогичного задания ОГЭ.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную задачу и формулируют ожидаемый результат практической работы.
- Планируют действия перед внесением формулы в электронную таблицу.
- Осуществляют пошаговый самоконтроль по чек-листу.
- Находят и исправляют ошибку в выборе функции, диапазона или математической модели.
- Оценивают результат по критериям: правильность модели, формулы, вычисления и ответа.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные данные и условия равновероятности в тексте задачи.
- Сравнивают сочетания и упорядочивания по признаку учёта порядка.
- Строят математическую модель вероятностной ситуации.
- Используют электронную таблицу как инструмент вычисления и проверки гипотезы.
- Анализируют полученный результат и выявляют несоответствие диапазону вероятности.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: оператор таблицы и проверяющий рассуждение.
- Формулируют объяснение выбора функции полным предложением.
- Задают уточняющие вопросы о числе всех и благоприятных исходов.
- Аргументированно принимают или отклоняют решение партнёра.
- Корректно дают обратную связь по чек-листу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить компьютерный класс или ноутбуки по одному на пару с установленными электронными таблицами и заранее проверить названия функций в используемой версии программы.
- Создать пустой файл с листами «Тренировка», «Практика», «Проверка»; на первом листе предусмотреть столбцы «n», «k», «Всего исходов», «Благоприятных исходов», «Вероятность».
- Подготовить карточки трёх уровней: базовые задачи на сочетания, повышающие задачи на совместное использование сочетаний и перестановок, дополнительная задача с анализом ошибки.
- Распечатать по одному чек-листу и одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Вывести на доску памятку: «1. Определи исходы. 2. Найди n и m. 3. Выбери функцию. 4. Запиши $P(A)=m/n$. 5. Проверь $0\leq P(A)\leq1$.»
- Подготовить демонстрационный пример: из 8 учащихся случайно выбирают 3 дежурных, из них 2 отличника; вероятность выбрать двух отличников.
- Подготовить слайд с типичными ошибками: перестановка вместо сочетания, перепутаны числитель и знаменатель, неверный диапазон ячеек.
- Проверить подключение проектора, работу мыши, клавиатуры и сохранение файла в общей папке.
- Подготовить сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета для быстрой обратной связи.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать безопасную практическую работу и показать связь темы с заданиями ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы не просто повторим формулу вероятности, а научимся быстро и надёжно выполнять комбинаторные вычисления в электронной таблице. Такой навык полезен и в практических задачах, и при подготовке к ОГЭ. Проверьте, что перед вами компьютер, тетрадь и карточка практической работы." | Проверяют рабочее место, открывают электронную таблицу и тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране задачу: "Из 8 учащихся случайно выбирают 3 дежурных. Двое из восьми — отличники. Какова вероятность, что выберут обоих отличников? Сегодня мы найдём ответ не перебором, а с помощью математической модели и электронной таблицы." | Читают условие, называют известные данные: 8 учащихся, выбирают 3, благоприятное событие связано с двумя отличниками; формулируют ожидание: "Нужно посчитать все варианты и подходящие варианты". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня компьютер будет не заменять рассуждение, а помогать быстро выполнять его вычислительную часть. Сначала проверим, какие комбинаторные идеи уже умеем применять."
Этап 2. Актуализация знаний и инструктаж по безопасности (5 мин)
Цель этапа: актуализировать формулу вероятности и различие между выбором и упорядочиванием объектов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Вспомните, что обозначают $n$ и $m$ в формуле $P(A)=m/n$. Сначала подумайте 30 секунд, затем обсудите ответ с соседом. Важно не только назвать буквы, но и объяснить их смысл." | Индивидуально записывают значения $n$ и $m$, затем в парах формулируют: "$n$ — число всех равновероятных исходов, $m$ — число благоприятных исходов". |
2 мин | Учитель показывает две ситуации: "Из 10 книг выбирают 3 для выставки" и "Из 10 книг составляют порядок размещения трёх книг на полке". Спрашивает: "В какой ситуации порядок не важен? Какая ситуация требует упорядочивания?" | Сравнивают ситуации и отвечают: "При выборе выставочных книг порядок не важен — нужны сочетания. При размещении на полке порядок важен — нужны упорядочивания". |
1 мин | Учитель напоминает правила работы: "Не вводите неизвестные команды из интернета, не меняйте чужие файлы и сохраняйте работу только под своей фамилией. Если формула не сработала, сначала проверьте скобки и названия функций, а не нажимайте клавиши случайно." | Подтверждают готовность, открывают подготовленный файл и называют правило безопасной работы с общим компьютером. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что вероятность строится как отношение благоприятных исходов к общему числу исходов, а выбор функции зависит от того, учитывается ли порядок. Теперь выясним, как перенести эти рассуждения в таблицу."
Этап 3. Постановка практической задачи и планирование (4 мин)
Цель этапа: сформулировать алгоритм решения и критерии успешной работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске алгоритм: "Посмотрите на памятку. Перед каждой формулой мы отвечаем на три вопроса: что является одним исходом, сколько всего исходов и сколько из них благоприятны. Затем выбираем функцию. Если выбираем $k$ объектов из $n$ без учёта порядка, используем число сочетаний. Если размещаем объекты по местам, учитываем порядок." | Читают алгоритм, задают уточняющие вопросы, в тетрадях записывают последовательность из пяти шагов. |
2 мин | Учитель объявляет критерии: "Практическая работа будет считаться выполненной, если в каждой задаче есть обозначения $n$ и $m$, правильно выбрана функция, формула таблицы даёт результат от 0 до 1, а итог записан с понятным округлением. Ошибку можно исправить после проверки — это часть работы, а не повод снижать самооценку." | Фиксируют критерии в чек-листе, распределяют в паре роли оператора и проверяющего. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План работы у нас есть. Сейчас я покажу один пример полностью, а затем вы будете выполнять аналогичные действия самостоятельно и в парах."
Этап 4. Демонстрация решения в электронной таблице (8 мин)
Цель этапа: показать полный цикл решения задачи от текста до формулы электронной таблицы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует условие: "Из 8 учащихся случайно выбирают 3 дежурных. Двое из них — отличники. Найдите вероятность того, что среди выбранных будут оба отличника." Учитель спрашивает: "Сколько всего троек можно выбрать? Сколько троек содержат двух отличников?" На экране создаёт таблицу: в ячейках вводит $n=8$, $k=3$, число всех исходов — функция ЧИСЛОСОЧЕТАНИЙ с аргументами 8 и 3. | Называют: "Всего исходов — число сочетаний из 8 по 3". Записывают в тетради $n=C_8^3$ и в таблице получают 56. |
3 мин | Учитель продолжает: "Чтобы в тройке были оба отличника, мы уже выбираем двух отличников, а третьего человека — из оставшихся шести. Значит, благоприятных троек будет $C_2^2\cdot C_6^1$. В таблице вводим две функции ЧИСЛОСОЧЕТАНИЙ и перемножаем их." | Вместе с учителем вводят формулу для благоприятных исходов, получают 6, проговаривают: "Выбраны оба отличника и ещё один человек из шести". |
2 мин | Учитель записывает формулу вероятности: "Теперь делим число благоприятных исходов на число всех: $P(A)=6/56=3/28\approx0,107$. Посмотрите на результат: он находится между 0 и 1, значит, по крайней мере, грубой ошибки нет." | Вводят формулу деления ячейки с благоприятными исходами на ячейку со всеми исходами, форматируют результат до трёх знаков после запятой. |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) определить все исходы; 2) определить благоприятные исходы; 3) выбрать комбинаторную функцию; 4) вычислить $P(A)=m/n$; 5) проверить $0\leq P(A)\leq1$. Для демонстрационной задачи: $n=C_8^3=56$, $m=C_2^2\cdot C_6^1=6$, $P(A)=6/56=3/28\approx0,107$.
Эталон решения
Всего способов выбрать трёх дежурных: $n=C_8^3=56$. Благоприятный исход требует выбрать обоих отличников и одного из шести остальных учащихся: $m=C_2^2\cdot C_6^1=1\cdot6=6$. Тогда $P(A)=m/n=6/56=3/28\approx0,107$. Ответ: примерно $0,107$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что электронная таблица быстро считает, но сама не понимает условие. Сначала мы объяснили, какие исходы считаем, и только потом ввели функцию. Переходим к тренировке, где вы попробуете составить модель самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (8 мин)
Цель этапа: закрепить выбор функции и формулы вероятности на двух задачах с обсуждением.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт карточку: "Задача 1. В коробке 10 шаров, из них 4 красных. Наугад выбирают 2 шара без возвращения. Найдите вероятность того, что оба шара красные. Заполните столбцы $n$, $m$, $P(A)$ и запишите формулу таблицы." Учитель напоминает: "Проверяющий в паре должен объяснить, почему порядок выбранных шаров не учитывается." | В парах определяют $n=C_{10}^2$, $m=C_4^2$, вводят функции в таблицу и получают $P(A)=6/45=2/15\approx0,133$. Объясняют: "Пара шаров не имеет первого и второго места". |
3 мин | Учитель предлагает задачу 2: "Из 6 различных книг случайно выбирают 3 и расставляют их на полке слева направо. Найдите вероятность того, что конкретная книга окажется на первом месте." Задаёт вопрос: "Что меняется по сравнению с выбором без порядка?" | Выбирают число всех упорядоченных вариантов как $6\cdot5\cdot4=120$, благоприятных — $5\cdot4=20$, вычисляют $P(A)=20/120=1/6$. Формулируют: "Порядок важен, потому что книги расставляют на местах". |
1 мин | Учитель проводит взаимопроверку по приёму "Две звезды и пожелание": "Назовите две сильные стороны решения партнёра и один совет. Проверьте не только число, но и математическое объяснение." | Записывают партнёру две сильные стороны и один конкретный совет, исправляют одну найденную неточность. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В первой задаче мы использовали сочетания, потому что порядок не важен, а во второй — последовательный подсчёт упорядоченных вариантов. Теперь каждый проверит себя на индивидуальной карточке, как на небольшом фрагменте экзаменационной работы."
Этап 6. Самостоятельная практическая работа с самопроверкой (12 мин)
Цель этапа: индивидуально применить алгоритм к задачам трёх уровней и выполнить самопроверку в электронной таблице.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет выбор уровня: "Обязательный уровень выполняют все. Если справились раньше, переходите к повышающему. Дополнительный уровень предназначен для тех, кто хочет проверить себя на анализе ошибки. Работайте индивидуально, но при техническом сбое поднимите жёлтую карточку." | Выбирают карточку, открывают лист «Практика», подписывают файл и читают условие каждой задачи до ввода формул. |
5 мин | Учитель предлагает базовую задачу: "В классе 12 учащихся, из них 5 занимаются в спортивной секции. Случайно выбирают 2 учащихся. Найдите вероятность, что оба занимаются в секции." Напоминает: "Запишите отдельно общий исход и благоприятный исход; не вводите сразу длинную формулу без пояснения." | Решают: $n=C_{12}^2=66$, $m=C_5^2=10$, $P(A)=10/66=5/33\approx0,152$. Вводят расчёты в таблицу и заносят ответ в чек-лист. |
3 мин | Учитель предлагает повышающую задачу: "В партии 9 изделий, из них 2 имеют скрытый дефект. Наугад выбирают 3 изделия для проверки. Найдите вероятность того, что среди выбранных окажется хотя бы одно дефектное изделие." Подсказывает направление только вопросом: "Как проще посчитать событие ‘хотя бы одно’?" | Используют противоположное событие: $P(A)=1-P(\text{ни одного дефектного})=1-C_7^3/C_9^3=1-35/84=49/84\approx0,583$. В таблице отдельно считают вероятность противоположного события. |
2 мин | Учитель выдаёт карточку анализа ошибки: "Ученик для задачи о выборе двух красных шаров из десяти записал $P=C_{10}^2/C_4^2$. Найдите ошибку и исправьте запись." Учитель выводит на экран эталон после завершения времени. | Находят перепутанные числитель и знаменатель, записывают правильную формулу $P=C_4^2/C_{10}^2$, сравнивают с эталоном и исправляют результат. |
Эталон решения
Для задачи о спортивной секции: $n=C_{12}^2=66$, $m=C_5^2=10$, поэтому $P(A)=10/66=5/33\approx0,152$. Для задачи о дефектных изделиях удобнее рассмотреть противоположное событие: выбрать только исправные изделия можно $C_7^3$ способами из общего числа $C_9^3$ способов. Поэтому $P(A)=1-C_7^3/C_9^3=1-35/84=49/84\approx0,583$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проверьте по чек-листу четыре пункта: модель, функция, отношение, диапазон результата. Если все пункты отмечены, сохраните файл. Осталось обсудить, какие ошибки оказались типичными и как их предупреждать."
Этап 7. Рефлексия, оценивание и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: зафиксировать освоенный алгоритм, провести самооценку и определить дальнейшую практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию "Светофор": "Поднимите зелёную карточку, если умеете отличать сочетание от упорядочивания и самостоятельно вводить формулу. Жёлтую — если вычисление получается, но трудно построить модель. Красную — если нужна совместная тренировка. Назовите один шаг, который требует повторения." | Поднимают карточки, называют конкретное затруднение: "Мне нужно повторить противоположное событие" или "Нужно внимательнее выбирать числитель". |
2 мин | Учитель предлагает "Билет на выход": "Запишите ответ на два вопроса: какая функция нужна при выборе объектов без учёта порядка и как проверить, что вероятность вычислена разумно?" | Пишут: "Используется число сочетаний; нужно проверить, что вероятность от 0 до 1". Сдают листок при выходе. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и критерии: "Выберите обязательный уровень. Повышающий и дополнительный уровни выполняйте по готовности. В каждом решении должны быть указаны все исходы, благоприятные исходы, формула таблицы и итоговая вероятность." | Записывают домашнее задание, сохраняют файл практической работы и закрывают программу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы отработали не отдельную компьютерную команду, а полный способ решения вероятностной задачи. Главное — сначала понять условие, затем выбрать модель и только после этого доверить вычисления таблице. На следующем уроке мы продолжим анализировать сложные события и проверять решения в формате ОГЭ."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — самостоятельно выполнены обязательная и повышающая задачи, правильно определены все и благоприятные исходы, корректно использованы комбинаторные функции, записана формула вероятности, результат проверен и сохранён в файле.
- «4» — выполнена обязательная задача и большая часть повышающей, математическая модель выбрана верно, но допущена одна вычислительная или техническая неточность, исправленная после самопроверки.
- «3» — выполнена обязательная задача с опорой на алгоритм, правильно указаны $n$ и $m$, но требуется помощь при вводе функции или оформлении результата.
- Ниже «3» — не определены исходы либо перепутаны числитель и знаменатель, а ошибка не исправлена после подсказки; работа направляется на повторную тренировку.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как вы определяете, что в задаче нужно использовать сочетания? | Проверка понимания признака «порядок не учитывается». |
На каком шаге сегодняшнего алгоритма возникло затруднение? | Выявление точки затруднения: модель, функция, формула вероятности или технический ввод. |
Как вы проверяете разумность результата? | Осознание ограничения $0\leq P(A)\leq1$ и необходимости смысловой проверки. |
Что поможет вам увереннее решать подобное задание на ОГЭ? | Формирование личного плана дальнейшей подготовки и снижение тревожности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились переводить условие вероятностной задачи в таблицу и использовать комбинаторные функции для точного вычисления. Запомните типичную ошибку: нельзя менять местами число всех и число благоприятных исходов. Электронная таблица проверяет вычисление, но не заменяет математическое рассуждение. На следующем уроке мы продолжим работать с противоположными событиями и заданиями, в которых нужно выбрать наиболее удобную модель."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на выбор объектов без учёта порядка: две задачи на вероятность выбора однотипных объектов и две задачи на вероятность выбора заданного числа объектов. Для каждой задачи составить таблицу со столбцами $n$, $m$, $P(A)$ и ввести формулы комбинаторных функций. | Закрепить распознавание сочетаний и алгоритм вычисления $P(A)=m/n$; при проверке смотреть на правильность числителя, знаменателя и диапазон вероятности. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи, в которых порядок объектов учитывается либо используется противоположное событие «хотя бы один». Выполнить вычисления в электронной таблице и кратко объяснить выбор функции или способа подсчёта. | Развить умение выбирать модель при изменении условия; при проверке смотреть на обоснование и корректное использование противоположного события. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную практическую задачу вероятностного типа с комбинаторным подсчётом, создать для неё таблицу расчёта, получить ответ двумя способами и объяснить, почему результаты совпадают. | Развить создание математической модели и критическую проверку вычислений; при проверке смотреть на реалистичность условия, равновероятность исходов и аргументацию. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что обозначает знаменатель в формуле вероятности? Когда порядок объектов не учитывается? Какую проверку нужно выполнить для любого результата вероятности?»
