Комбинаторное правило умножения
Цели и задачи
- Цель: Сформировать понимание комбинаторного правила умножения и научить применять его при решении практических задач и заданий формата ОГЭ.
- Образовательная задача: Вывести формулу правила умножения через анализ перебора вариантов и дерево возможных исходов.
- Развивающая задача: Развивать логическое мышление и навыки смыслового чтения при анализе условий текстовых задач.
- Воспитательная задача: Снизить уровень тревожности перед экзаменами через отработку алгоритмов решения типовых заданий ОГЭ.
- Профориентационная задача: Продемонстрировать применение комбинаторики в сфере информационной безопасности (пароли) и логистики.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории на основе понимания значимости математики.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
- Осознание ценности информационной безопасности в современном цифровом мире.
Метапредметные
- Познавательные: умение выявлять закономерности, строить логическую цепь рассуждений, преобразовывать информацию из текстовой в знаково-символическую.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, выбирать наиболее эффективные способы решения задач.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою позицию, использовать адекватные языковые средства для дискуссии.
Предметные
- Знать формулировку комбинаторного правила умножения.
- Уметь применять правило для подсчёта числа вариантов в ситуациях выбора из нескольких групп объектов.
- Уметь решать комбинаторные задачи на перестановки и выборки, встречающиеся в КИМ ОГЭ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование учебной мотивации через связь темы с реальными жизненными ситуациями.
- Развитие навыков самооценки на основе критерия успешности учебной деятельности.
Регулятивные УУД
- Постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Сличение способа действия и его результата с заданным эталоном.
Познавательные УУД
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
- Управление поведением партнера — контроль, коррекция, оценка его действий.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочие листы с заданиями формата ОГЭ (15 экземпляров — по одному на парту).
- Подготовить презентацию с визуализацией «дерева вариантов» для вводной задачи.
- Выписать на доску ключевые слова: «комбинаторика», «вариант», «множество», «произведение».
- Подготовить карточки для рефлексии (красный, желтый, зеленый цвета) по количеству учеников.
- Обеспечить наличие калькуляторов (если предусмотрено правилами школы для статистики) или черновиков для быстрых вычислений.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент / Мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, создать ситуацию «вызова» через практический пример.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы начинаем изучение темы, которая напрямую связана с вашей безопасностью в интернете и... вашими баллами на ОГЭ. Посмотрите на слайд: здесь изображен смартфон с 4-значным цифровым паролем. Как вы думаете, сколько времени понадобится злоумышленнику, чтобы подобрать его вручную?» | Приветствуют учителя, включаются в диалог. Предполагают: «Много», «Пару часов», «10 тысяч вариантов». |
2 мин | «Верно, вариантов много. Сегодня мы научимся не просто угадывать, а точно рассчитывать количество комбинаций. Это и есть основа комбинаторики — раздела математики, который мы будем изучать. На ОГЭ это задание №10, которое приносит легкий, но важный балл. Готовы взломать код математики?» | Записывают дату и тему урока в тетради: «Комбинаторное правило умножения». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Прежде чем считать тысячи вариантов, давайте вспомним, как мы считали единицы на прошлых уроках».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить метод перебора и построения дерева вариантов на простых примерах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Решим простую задачу. В школьной столовой на завтрак предлагают 2 вида каши (овсяную и гречневую) и 3 вида напитка (чай, какао, компот). Сколько существует способов выбрать завтрак из одной каши и одного напитка? Нарисуйте в тетрадях дерево вариантов за 2 минуты.» | Рисуют дерево: от узла «Завтрак» две ветки (К1, К2), от каждой из которых по три ветки (Н1, Н2, Н3). Считают количество конечных «листьев». |
2 мин | «Сколько получилось? Правильно, 6. А если бы каш было 5, а напитков 10? Удобно ли было бы рисовать дерево? Какую закономерность вы видите между числами 2, 3 и результатом 6?» | Отвечают: «6 способов». Приходят к выводу, что рисовать долго. Замечают связь: $2 \cdot 3 = 6$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Ваша догадка — это и есть ключ к сегодняшнему уроку. Давайте проверим, всегда ли это работает».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Выявление места и причины затруднения (4 мин)
Цель этапа: создать проблемную ситуацию, где старый метод (дерево) неприменим из-за трудоемкости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Задача посложнее: сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе могут повторяться? Попробуйте начать рисовать дерево. Что происходит?» | Начинают рисовать, понимают, что веток становится слишком много (5 веток на первом уровне, от каждой по 5 на втором и т.д.). |
2 мин | «В чем трудность? Мы можем пересчитать их вручную? Нет, это займет весь урок. Значит, нам нужен универсальный инструмент, формула. Как бы вы сформулировали цель нашего урока, исходя из этого затруднения?» | Формулируют цель: «Найти способ быстро считать количество комбинаций без рисования дерева». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель ясна. Переходим к открытию нашего правила».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и сформулировать комбинаторное правило умножения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Вернемся к задаче с цифрами. У нас три позиции в числе: сотни, десятки, единицы. Сколько вариантов выбора для первой позиции? (5). Для второй? (тоже 5). Для третьей? (5). Если для каждого из 5 первых вариантов есть 5 вторых, сколько их вместе? (25). А для каждого из этих 25 есть еще 5 третьих. Какое действие мы выполняем?» | Отвечают на вопросы учителя. Осознают последовательность действий: $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$. |
6 мин | «Запишем правило в общем виде. Если объект А можно выбрать $n$ способами, а после каждого такого выбора объект В можно выбрать $m$ способами, то пару (А, В) можно выбрать $n \cdot m$ способами. Это правило работает для любого количества объектов. Запишите формулу: $N = n_1 \cdot n_2 \cdot ... \cdot n_k$.» | Записывают определение и формулу в тетрадь. Обсуждают условие «после каждого такого выбора» — важность независимости выбора. |
Запись в тетрадях
Комбинаторное правило умножения:
Если первый элемент можно выбрать $a$ способами, второй — $b$ способами, третий — $c$ способами и т.д., то общее число способов выбора всей последовательности элементов равно их произведению: $N = a \cdot b \cdot c \cdot ...$
Если первый элемент можно выбрать $a$ способами, второй — $b$ способами, третий — $c$ способами и т.д., то общее число способов выбора всей последовательности элементов равно их произведению: $N = a \cdot b \cdot c \cdot ...$
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь у нас есть мощный инструмент. Давайте применим его к реальным задачам ОГЭ».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать применение правила на типовых задачах с проговариванием алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Задача 1 (ОГЭ): В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколько существует способов это сделать? Внимание: может ли один человек быть и тем, и другим одновременно?» | Один ученик у доски: «Капитана выбираем из 11 человек (11 способов). Заместителя — из оставшихся 10 (10 способов). Итого: $11 \cdot 10 = 110$ способов». Класс записывает решение. |
3 мин | «Задача 2: У Светланы 3 юбки, 4 блузки и 2 пары туфель. Все вещи сочетаются по цвету. Сколько разных нарядов может составить Светлана?» | Решают самостоятельно в тетрадях, один ученик комментирует с места: «$3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$ варианта». |
Эталон решения (Задача 1)
1) Выбор капитана: $n = 11$;
2) Выбор заместителя (без возвращения): $m = 11 - 1 = 10$;
3) По правилу умножения: $N = 11 \cdot 10 = 110$.
Ответ: 110.
2) Выбор заместителя (без возвращения): $m = 11 - 1 = 10$;
3) По правилу умножения: $N = 11 \cdot 10 = 110$.
Ответ: 110.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы отлично справляетесь. Теперь проверьте себя в режиме реального экзамена».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения темы, развитие навыка самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «На карточках у вас 3 задачи разного уровня сложности. Выберите любые две и решите их. 1. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6? 2. В меню 4 первых блюда, 5 вторых и 3 третьих. Сколько вариантов обеда из 3 блюд? 3. Сколькими способами можно расставить 4 разные книги на полке?» | Выполняют работу самостоятельно. Используют черновики. |
2 мин | Выводит ответы на слайд: «1. 18 (6 вариантов для первой цифры, 3 для второй — 2, 4, 6); 2. 60; 3. 24 ($4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$). Проверьте себя. Если всё верно — поставьте плюс на полях». | Сверяют свои решения с эталоном. Фиксируют ошибки, если они есть. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Кто решил все выбранные задачи верно? Молодцы. Кто ошибся — не страшно, мы только учимся».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (9 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, оценка результатов, постановка задач на дом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Давайте вернемся к нашему паролю из начала урока. 4 цифры, каждая от 0 до 9. Сколько всего комбинаций? (10 тысяч). Теперь вы знаете, почему это так: $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$. А если добавить в пароль одну букву? Количество вариантов вырастет в десятки раз! Это и есть сила правила умножения. Проведем рефлексию: поднимите карточку того цвета, который соответствует вашему состоянию сейчас.» | Рассчитывают количество паролей. Поднимают карточки: зеленый — «всё понял», желтый — «есть сомнения», красный — «нужна помощь». |
5 мин | «Запишите домашнее задание. Оно дифференцированное. Обратите внимание на задачу №3 — она творческая. Спасибо за работу, вы сегодня были настоящими комбинаторами!» | Записывают задание в дневники. Задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены 3 задачи из самостоятельной работы, продемонстрировано понимание условия (например, учтено ограничение на четность).
- «4» — верно решены 2 задачи, допущена одна вычислительная ошибка при верном ходе рассуждений.
- «3» — верно решена 1 задача или предприняты верные попытки решения (записана формула), но допущены логические ошибки в выборе количества вариантов.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
В каких случаях при подсчете вариантов мы используем умножение? | Проверка осознания сути правила (последовательный выбор). |
Какое условие в задаче заставляет нас уменьшать количество вариантов для следующего шага (как в задаче с капитаном)? | Выявление понимания зависимости/независимости выборов. |
Где в реальной жизни, кроме паролей, нам может пригодиться это правило? | Оценка связи обучения с практикой и функциональной грамотности. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы сделали важный шаг в освоении теории вероятностей и статистики. Комбинаторное правило умножения — это фундамент, на котором строятся более сложные формулы перестановок и сочетаний, которые мы разберем далее. Помните: математика не только помогает сдать ОГЭ, но и учит нас видеть структуру там, где кажется, что царит хаос вариантов. Если у вас остались вопросы, жду вас на консультации. До встречи на следующем уроке!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, № 15.1, 15.3, 15.5 | Решить задачи на прямое применение правила умножения (выбор одежды, меню). |
Средний (повышающий) | Задания из банка ОГЭ (распечатка) | Решить 3 задачи на составление чисел из заданных цифр с условием (без повторений). |
Продвинутый (дополнительный) | Проект «Мой безопасный пароль» | Рассчитать, во сколько раз увеличится количество комбинаций 6-значного пароля, если добавить в него одну заглавную букву и один спецсимвол. |
Контрольный вопрос: «Если в задаче сказано, что цифры в числе не могут повторяться, как это изменит наш расчет?»