Операции над событиями и алгебраические действия с вероятностями
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать пересечение, объединение, несовместимые и противоположные события, а также вычислять вероятности составных событий по формулам и применять алгоритм к задачам формата ОГЭ.
- Сформировать представление о пересечении и объединении событий как операциях над множествами исходов.
- Научить находить вероятность пересечения независимых событий, объединения несовместимых событий и противоположного события.
- Развивать умение переводить условие задачи на язык обозначений A, B, A∩B, A∪B и проверять разумность полученного ответа.
- Формировать уверенность при решении вероятностных задач ОГЭ через пошаговый алгоритм и самопроверку.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность вероятностных моделей для анализа повседневных ситуаций.
- Проявляют ответственное отношение к записи решения и проверке результата.
- Снижают тревожность перед заданиями ОГЭ благодаря использованию понятного алгоритма.
- Осознают важность сотрудничества и уважительного обсуждения разных способов решения.
Метапредметные
- Читают условие задачи, выделяют события и переводят текст в математическую модель.
- Сравнивают операции над событиями и выбирают соответствующую формулу.
- Работают с диаграммой Эйлера, таблицей вероятностей и числовыми данными.
- Планируют решение, выполняют самопроверку и корректируют ошибки.
- Аргументируют ответ в паре и кратко объясняют ход рассуждений.
Предметные
- Знать определения пересечения, объединения, несовместимых и противоположных событий.
- Уметь обозначать пересечение символом ∩, объединение символом ∪ и противоположное событие чертой над буквой.
- Уметь применять формулы P(X∩Y)=P(X)·P(Y) для независимых событий, P(X∪Y)=P(X)+P(Y) для несовместимых событий и P(Ā)=1−P(A).
- Уметь находить вероятности частей диаграммы Эйлера по известным P(A), P(B) и P(A∩B).
- Уметь решать текстовые задачи на объединение событий и противоположное событие.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень понимания формул и называют затруднение без страха ошибки.
- Связывают изучаемый материал с подготовкой к ОГЭ и практическими решениями.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа проверки результата.
- Оценивают вклад партнёра в совместное решение.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемной задачи.
- Планируют решение по шагам: обозначить события, выбрать операцию, применить формулу, проверить ответ.
- Контролируют соответствие вероятности промежутку от 0 до 1.
- Находят и исправляют ошибку в вычислениях или выборе формулы.
Познавательные УУД
- Выделяют общую часть и объединение множеств исходов.
- Классифицируют события как совместимые или несовместимые.
- Строят и читают диаграммы Эйлера.
- Устанавливают связи между вероятностями частей диаграммы и вероятностью всего пространства исходов.
- Применяют символическую запись для моделирования текстовой задачи.
Коммуникативные УУД
- Формулируют ответ на вопрос партнёра с использованием терминов темы.
- Согласовывают обозначения событий при работе в паре.
- Аргументируют выбор формулы и корректно задают уточняющие вопросы.
- Сравнивают решения и принимают обоснованную коррекцию.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображения с определениями пересечения, объединения, несовместимых и противоположных событий из материала урока.
- Вывести на доску памятку: ∩ — «и», ∪ — «или», Ā — «не A».
- Распечатать карточки для пар: по одному комплекту на каждую пару, с заданиями на диаграммы и формулы.
- Распечатать карточки трёх уровней для самостоятельной работы — по одной на каждого ученика.
- Подготовить листы с диаграммами Эйлера: 1 экземпляр на парту и один увеличенный вариант для доски.
- Подготовить стикеры или небольшие листы для приёма «Билет на выход».
- Подготовить проектор, компьютер и доску; заранее открыть изображение диаграммы Эйлера.
- Записать на отдельном листе эталоны: 0,21; 0,8; 0,99; вероятности частей 0,3; 0,1; 0,5.
- Разместить на доске проблемную задачу об автоматах с кофе без решения.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать связь темы с заданиями ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, тетради, ручки и карточки. Сегодня нам понадобится внимательная запись обозначений, потому что одна маленькая черта над буквой может изменить смысл события." | Готовят тетради и принадлежности, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на доске условие: "В двух автоматах кофе может закончиться. Как записать событие, что кофе закончится в обоих автоматах, а как — что оно закончится хотя бы в одном? Такие формулировки встречаются в задачах ОГЭ. Сегодня мы научимся переводить их на язык событий." | Предполагают: "В обоих — одновременно", "хотя бы в одном — в первом или во втором"; формулируют затруднение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что слова «и», «или» и «не» требуют точной математической записи. Сейчас вспомним, как устроены события и их исходы."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить понятия события, элементарного исхода и вероятности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит устный опрос: "Что называется событием? Что такое благоприятный исход? В каких пределах находится вероятность? Если вероятность равна 0, что это означает, а если 1?" | Отвечают: "Событие — результат опыта", "благоприятный исход приводит к наступлению события", "0≤P≤1", "событие невозможно или достоверно". |
2 мин | Учитель записывает на доске A={выпало нечётное число}, B={выпало число больше 4} и спрашивает: "Назовите исходы, благоприятные каждому событию, и найдите общие исходы." | Для броска игрального кубика называют A={1,3,5}, B={5,6}; выделяют общий исход 5. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем выделять исходы каждого события и общие исходы. Теперь выясним, как назвать и обозначить общую часть и все исходы двух событий."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и критерии успешного решения.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает два пересекающихся круга и говорит: "Событие X — ученик посещает баскетбол и самооборону, событие Y — самооборону и химию. Что означает условие X и Y одновременно? А что означает X или Y?" | Обсуждают в парах 1 минуту; отвечают: "Общая часть — самооборона", "объединение включает баскетбол, самооборону и химию". |
2 мин | Учитель подводит к цели: "Сегодня мы узнаем названия этих операций, научимся обозначать их символами и выбирать формулу вероятности. Как поймём, что цель достигнута? Вы сможете объяснить знак, выбрать формулу и решить задачу с диаграммой." | Формулируют цель: "Научиться выполнять операции над событиями и вычислять вероятности составных событий"; записывают тему. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: от смысла слов мы перейдём к символам, формулам и задаче. Откройте тетради и приготовьтесь зафиксировать новые правила."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определения и формулы операций над событиями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает диаграмму и объясняет: "Событие X∩Y — пересечение событий X и Y. Это исходы, благоприятные для обоих событий сразу; на диаграмме это общая часть кругов. Если общих исходов нет, события называются несовместимыми, а их пересечение обозначают ∅." | Записывают определение и символ X∩Y; на диаграмме обводят общую часть; приводят пример A={1,3,5}, B={2,4,6}, делают вывод: "A и B несовместимы". |
3 мин | Учитель продолжает: "Объединение X∪Y состоит из исходов, принадлежащих хотя бы одному событию. Для несовместимых событий вероятность объединения равна сумме: P(X∪Y)=P(X)+P(Y). При независимости пересечение вычисляется произведением: P(X∩Y)=P(X)·P(Y)." | Записывают формулы; вычисляют устно: при P(X)=0,3 и P(Y)=0,7 получают P(X∩Y)=0,21; при несовместимых событиях 0,3 и 0,5 получают 0,8. |
3 мин | Учитель показывает обозначение Ā: "Противоположные события происходят так, что любой исход благоприятен ровно одному из них. Поэтому P(A)+P(Ā)=1 и P(Ā)=1−P(A). Запомните: в задаче со словами «не произошло» сначала ищем противоположное событие." | Записывают формулу и объясняют пример с насосами: P(A)=9/900=0,01, поэтому P(Ā)=1−0,01=0,99. |
Запись в тетрадях
Пересечение: X∩Y — событие «произошли X и Y одновременно». Объединение: X∪Y — произошло X или Y, или оба события. Для независимых событий P(X∩Y)=P(X)·P(Y). Для несовместимых событий P(X∪Y)=P(X)+P(Y). Противоположное событие: P(Ā)=1−P(A).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили словарь и формулы. Теперь проверим, умеете ли вы узнавать нужную операцию по тексту задачи и выделять нужную область на диаграмме."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание операций через работу в парах с диаграммами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт каждой паре диаграмму и говорит: "Приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». Заштрихуйте по очереди A∩B, A∪B, Ā∩B и Ā∩B̄. Сначала каждый работает 30 секунд самостоятельно, затем сравните рисунки и подготовьте объяснение одного пункта." | Самостоятельно выделяют области, затем обсуждают в парах; формулируют: "A∩B — общая часть", "A∪B — оба круга целиком", "Ā∩B — часть B вне A", "Ā∩B̄ — внешняя часть". |
3 мин | Учитель предлагает проверить формулы: "События X и Y независимы, P(X)=0,4, P(Y)=0,5. Найдите P(X∩Y). Затем для несовместимых событий с вероятностями 0,2 и 0,6 найдите вероятность объединения. Объясните, почему нельзя применять формулу суммы к пересекающимся событиям без дополнительных данных." | Записывают решения: 0,4·0,5=0,2; 0,2+0,6=0,8. Объясняют: "При пересечении общая часть была бы посчитана дважды". |
Эталон решения
1) P(X∩Y)=P(X)·P(Y)=0,4·0,5=0,2. 2) Так как события несовместимы, P(X∪Y)=P(X)+P(Y)=0,2+0,6=0,8.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы научились видеть операцию на диаграмме и выбирать формулу по словам «одновременно», «хотя бы одно», «несовместимые» и «не произошло». Переходим к самостоятельной задаче в формате ОГЭ."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: применить новые знания к задачам разного уровня и выполнить самопроверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Решайте индивидуально. В каждой задаче сначала обозначьте события, затем запишите формулу и только после этого выполняйте вычисления. Базовая задача: из 900 насосов 9 подтекают; найдите вероятность, что выбранный насос не подтекает. Повышенная: P(A)=0,4, P(B)=0,2, P(A∩B)=0,1; найдите вероятности четырёх частей диаграммы. Продвинутая: вероятность окончания кофе в каждом автомате 0,3, вероятность окончания в обоих 0,18; найдите вероятность, что кофе останется в обоих." | Решают индивидуально, записывают обозначения и формулы; при затруднении используют памятку. |
4 мин | Учитель показывает эталон: "Сверьте не только ответ, но и формулу. Ошибку отмечайте условным знаком и исправляйте рядом. Если ответ не попал в промежуток [0;1], вернитесь к модели события." | Проверяют решения: 0,99; части диаграммы 0,3, 0,1, 0,1, 0,5; для автоматов P(A∪B)=0,3+0,3−0,18=0,42, поэтому вероятность, что кофе останется в обоих, равна 1−0,42=0,58. |
Эталон решения
Для насосов: P(A)=9/900=0,01; P(Ā)=1−0,01=0,99. Для диаграммы: P(A∩B̄)=0,4−0,1=0,3; P(Ā∩B)=0,2−0,1=0,1; внешняя часть равна 1−0,3−0,1−0,1=0,5. Для автоматов: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=0,3+0,3−0,18=0,42; вероятность, что кофе останется в обоих, равна 1−0,42=0,58.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проверка показала, что главное — не начинать с вычислений. Сначала определяем событие и его противоположность, затем выбираем модель. Осталось зафиксировать, что именно стало понятным и что требует повторения."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осознать результат урока, выявить затруднения и получить посильное задание для закрепления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает приём «Билет на выход»: "На стикере допишите три фразы: «∩ означает...», «если P(A)=0,3, то P(Ā)=...», «самая частая моя ошибка сегодня...». Подпишите уровень уверенности: зелёный, жёлтый или красный." | Заполняют стикер, указывают ответ 0,7 для противоположного события и личное затруднение. |
3 мин | Учитель сообщает домашнее задание и говорит: "Выберите обязательный уровень; повышающий и дополнительный помогут тем, кто хочет увереннее решать задания ОГЭ. В решении обязательно пишите обозначения событий и формулу." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все три предложенные задачи или две задачи повышенного уровня, корректно записаны обозначения и формулы, выполнена проверка вероятности.
- «4» — верно решены базовая и одна повышенная задача, допущена не более одной вычислительной ошибки, ход решения понятен.
- «3» — верно решена базовая задача или получены отдельные правильные элементы решений, но есть затруднения в выборе операции или формулы.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что обозначает пересечение событий и какую область диаграммы оно занимает? | Проверка понимания смысла операции и пространственной модели. |
Как отличить объединение от пересечения по тексту задачи? | Выявление умения переводить слова «и» и «или» в символическую запись. |
Какую формулу вы примените, если событие не произошло? | Проверка осознания свойства противоположных событий. |
Какое место решения оказалось самым сложным? | Выявление точек затруднения для коррекции на следующем уроке. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились рассматривать события как множества исходов и выполнять над ними операции. Запомните главный порядок действий: прочитать условие, обозначить события, определить операцию, выбрать формулу и проверить ответ. Типичная ошибка — складывать вероятности событий, которые имеют общую часть, поэтому всегда проверяйте совместимость. На следующем уроке продолжим решать задачи, где потребуется комбинировать несколько операций и внимательно читать условие."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на противоположные события, пересечение независимых и объединение несовместимых событий; использовать числа и сюжеты, аналогичные разобранным на уроке. | Закрепить распознавание операций и правильную запись формул; проверить отсутствие ошибок в обозначениях. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи по диаграмме Эйлера: по P(A), P(B) и P(A∩B) найти вероятности частей диаграммы и составных событий. | Отработать разбиение пространства исходов и связь вероятностей отдельных частей. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить одну собственную задачу о двух событиях из повседневной ситуации, указав P(A), P(B), P(A∩B), затем найти вероятность противоположного объединения. | Развить умение моделировать ситуацию, аргументировать выбор формулы и переносить знания в новый контекст. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что означает знак ∩?», «В каком случае вероятности складываются?», «Как найти вероятность противоположного события?», «Почему вероятность ответа должна находиться от 0 до 1?»
