Испытание. Успех и неудача: основы теории вероятностей
Цели и задачи
- Цель: научиться идентифицировать случайные испытания с двумя исходами, корректно определять понятия «успех» и «неудача» и вычислять их вероятности в задачах формата ОГЭ.
- Образовательная задача: ввести понятия «испытание», «исход», «успех» и «неудача», обосновать формулу суммы вероятностей противоположных событий p + q = 1.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление через анализ условий задач и выделение значимых признаков случайного эксперимента.
- Воспитательная задача: снизить уровень тревожности перед экзаменом ОГЭ через отработку типовых алгоритмов решения задач на вероятность.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к обучению и готовности к саморазвитию.
- Развитие осознанного отношения к оценке рисков и вероятностей в повседневной жизни.
- Повышение уверенности в собственных силах при подготовке к государственной итоговой аттестации.
Метапредметные
- Познавательные: умение классифицировать объекты, устанавливать причинно-следственные связи и строить логическое рассуждение.
- Регулятивные: способность самостоятельно ставить цели, планировать пути их достижения и осуществлять самоконтроль.
- Коммуникативные: умение аргументированно выражать свое мнение и эффективно сотрудничать с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать определения понятий «испытание», «исход», «успех» и «неудача».
- Уметь вычислять вероятность успеха и неудачи в простейших испытаниях.
- Владеть навыком решения задач на нахождение вероятности противоположного события.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (связь между целью учебной деятельности и ее мотивом — подготовка к ОГЭ).
- Нравственно-этическая ориентация в рамках анализа жизненных ситуаций с неопределенным исходом.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков (существенных и несущественных).
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
Коммуникативные УУД
- Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочие листы с заданиями для самостоятельной работы (по количеству учеников).
- Подготовить презентацию с визуализацией классических испытаний (монета, кубик, мишень).
- Заготовить карточки для приёма «Светофор» (красный, желтый, зеленый) для каждого ученика.
- Подготовить демонстрационный набор: игральный кубик, монета, непрозрачный мешочек с 2 типами шаров.
- Выписать на доску ключевую формулу урока: P(A) + P(not A) = 1.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: настроить учеников на работу, создав положительный эмоциональный фон и обозначив практическую значимость темы для ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы начинаем погружение в одну из самых интересных и полезных тем курса статистики. Скажите, кто из вас уже начал просматривать варианты ОГЭ по математике? Помните ли вы, под каким номером идет задача на вероятность? Верно, это задание номер 10. Сегодня мы разберем фундамент, на котором строятся такие задачи. Представьте ситуацию: вы приходите на экзамен. У вас есть два глобальных исхода: 'сдал' или 'не сдал'. В математике это называется испытанием. Сегодня мы научимся не просто называть эти исходы, но и математически точно оценивать шансы на успех. Проверьте, чтобы у вас на столах были тетради, ручки и рабочие листы. Мы начинаем!" | Ученики приветствуют учителя, отвечают на вопрос про номер задания в ОГЭ (номер 10), проверяют наличие канцелярских принадлежностей и настраиваются на работу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, мы вспомнили, где нам пригодятся эти знания. Теперь давайте освежим в памяти то, что мы уже знаем о вероятности."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить классическое определение вероятности и понятие случайного события.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Давайте проведем небольшую разминку. У меня в руках обычная монета. Я подбрасываю её. Как в теории вероятностей называется само это действие? Правильно, это опыт или испытание. А что такое 'выпадение орла'? Это событие. Вспомните классическую формулу вероятности. Мы делим количество благоприятных исходов на общее количество всех возможных исходов. Если я бросаю кубик, какова вероятность, что выпадет число 6? А какова вероятность, что выпадет четное число? Запишите в тетрадях: классическая вероятность P = m/n. Эти знания — наш фундамент. Сегодня мы сузим поле зрения до самых простых, но важных испытаний, где исходов всего два." | Ученики отвечают на вопросы учителя: называют действие 'испытанием', результат — 'событием'. Вычисляют устно вероятности: 1/6 для шестерки и 3/6 (0,5) для четного числа. Записывают формулу в тетрадь. |
Запись в тетрадях
Классическое определение вероятности: P(A) = m / n, где m — число благоприятных исходов, n — общее число исходов.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили общую формулу. Но что, если нас интересует только конкретный результат, а всё остальное мы считаем неудачей? Переходим к проблеме."
Этап 3. Постановка проблемы и выявление затруднения (4 мин)
Цель этапа: создать ситуацию затруднения, требующую введения понятий «успех» и «неудача».
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Посмотрите на слайд. Стрелок стреляет по мишени. Вероятность попадания равна 0,8. Вопрос: какова вероятность того, что он промахнется? Кажется очевидным, правда? А теперь другой пример: в коробке лежат красные, синие и зеленые шары. Мы вытаскиваем один шар. Нас интересует только красный. Как мы назовем все остальные случаи (синий или зеленый)? Можем ли мы объединить их в одно понятие, чтобы упростить расчеты? В статистике это называется дихотомией — разделением на два. Сегодня мы научимся работать с такими парами событий." | Ученики анализируют пример со стрелком (отвечают 0,2). Пытаются сформулировать название для 'не красных' шаров (промахи, другие, неудачи). Осознают необходимость введения единой терминологии. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что часто в жизни и в задачах нам важно не перечислять все варианты, а разделить их на нужные нам и ненужные. Сформулируем тему урока."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Построение проекта выхода из затруднения (3 мин)
Цель этапа: сформулировать цель урока и план действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Как вы думаете, как будет звучать тема нашего урока, исходя из нашего обсуждения? Правильно: 'Испытание. Успех и неудача'. Наша цель — научиться работать с такими испытаниями. Давайте составим план: 1. Дать точное определение испытанию и его исходам. 2. Узнать, что такое успех и неудача. 3. Вывести формулу связи между ними. 4. Потренироваться на задачах ОГЭ. Согласны с таким планом? Записываем тему урока в тетради." | Ученики предлагают варианты темы, соглашаются с планом. Записывают в тетрадь тему: «Испытание. Успех и неудача». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План готов, приступаем к его реализации. Начнем с определений."
Этап 5. Реализация проекта (открытие нового знания) (10 мин)
Цель этапа: ввести основные понятия и вывести формулу p + q = 1.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Запишем определение: Случайным испытанием называется действие, результат которого невозможно предсказать заранее. Каждый такой результат — это исход. Теперь самое важное. Если в испытании нас интересует конкретный исход, мы называем его Успехом и обозначаем латинской буквой p. Все остальные исходы, которые не являются успехом, мы объединяем в понятие Неудача и обозначаем буквой q. Например, бросаем кубик. Успех — выпала 'пятерка'. Тогда неудача — это выпадение 1, 2, 3, 4 или 6. Чему равна вероятность успеха p в этом случае? А вероятность неудачи q?" | Ученики записывают определения в тетрадь. Отвечают на вопросы: p = 1/6, q = 5/6. |
5 мин | "А теперь посмотрите на эти два числа: 1/6 и 5/6. Сложите их. Что получилось? Единица! Это не случайно. Поскольку успех и неудача вместе составляют все возможные варианты, их сумма всегда равна 1. Запишем формулу: p + q = 1. Отсюда мы можем найти неудачу, если знаем успех: q = 1 - p. И наоборот. Это правило работает в так называемых испытаниях Бернулли — опытах с двумя исходами. Давайте приведем примеры таких испытаний из жизни. Рождение ребенка (мальчик/девочка), включение лампочки (загорелась/перегорела), ответ на вопрос теста (верно/неверно)." | Ученики складывают дроби, получают 1. Записывают формулу p + q = 1 в рамку. Приводят свои примеры испытаний с двумя исходами. |
Запись в тетрадях
Испытание — действие с непредсказуемым результатом.
Успех (p) — интересующий нас исход.
Неудача (q) — любой другой исход.
p + q = 1 — сумма вероятностей успеха и неудачи.
Успех (p) — интересующий нас исход.
Неудача (q) — любой другой исход.
p + q = 1 — сумма вероятностей успеха и неудачи.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли главный закон сегодняшнего урока. Теперь проверим, как он работает на практике."
Этап 6. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать навык определения успеха и неудачи на простых примерах с проговариванием алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | "Поработаем с рабочими листами. Задание 1: В испытании 'Бросок игральной кости' успехом считается выпадение числа, кратного 3. Определите вероятность успеха p и вероятность неудачи q. Давайте рассуждать вслух. Какие числа на кубике кратны 3? Это 3 и 6. Всего исходов 6. Значит p = 2/6 = 1/3. Как найти q? Можно вычесть из единицы: q = 1 - 1/3 = 2/3. Либо посчитать остальные числа: 1, 2, 4, 5 — их четыре, 4/6 = 2/3. Результат совпал! Выполните аналогично пункты б и в в листах самостоятельно, а потом обменяйтесь тетрадями для проверки." | Ученики разбирают первый пример вместе с учителем, записывают решение. Затем самостоятельно решают задачи на определение p и q для других условий (выпадение четного числа, выпадение числа больше 4). Выполняют взаимопроверку в парах. |
Эталон решения
1. Исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (n=6).
2. Успех (кратное 3): 3, 6 (m=2).
3. $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0,33$.
4. $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \approx 0,67$.
2. Успех (кратное 3): 3, 6 (m=2).
3. $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0,33$.
4. $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \approx 0,67$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вижу, что с простыми расчетами вы справляетесь. Пришло время серьезного испытания — индивидуальной работы."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: проверить уровень усвоения материала через решение задач в формате ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Перед вами три задачи. Они очень похожи на те, что встретятся вам в 10-м задании ОГЭ. Задача 1: Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,94. Какова вероятность того, что он сломается в течение года? Задача 2: В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 2 подтекают. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос не подтекает. Задача 3: На экзамене 25 билетов. Сергей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет. У вас 5 минут. Приступайте." | Ученики индивидуально решают задачи в тетрадях, применяя формулу p + q = 1 и классическое определение вероятности. |
2 мин | "Время вышло. Посмотрите на экран — там представлены эталоны ответов. Проверьте себя. Если ответ совпал — ставьте плюс. Если нет — обведите кружочком, мы разберем ошибку. Поднимите зеленые карточки те, у кого все три задачи решены верно." | Ученики сверяют свои решения с ответами на экране: 1) 0,06; 2) 0,996; 3) 0,88. Проводят самоанализ ошибок, сигнализируют о результатах с помощью карточек. |
Эталон решения
Задача 1: $q = 1 - 0,94 = 0,06$.
Задача 2: $p = 2/500 = 0,004$ (успех - брак), $q = 1 - 0,004 = 0,996$.
Задача 3: $n = 25$, выучил $25 - 3 = 22$. $p = 22/25 = 0,88$.
Задача 2: $p = 2/500 = 0,004$ (успех - брак), $q = 1 - 0,004 = 0,996$.
Задача 3: $n = 25$, выучил $25 - 3 = 22$. $p = 22/25 = 0,88$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Большинство справилось на отлично! Те, у кого возникли трудности, обратите внимание: в задаче 2 и 3 важно сначала понять, что именно спрашивают — успех или неудачу."
Этап 8. Включение в систему знаний (3 мин)
Цель этапа: показать связь темы с реальной жизнью и будущей профессией.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Как вы думаете, людям каких профессий жизненно важно знать вероятность успеха и неудачи? Страховые агенты рассчитывают риски, врачи оценивают вероятность успеха операции, инженеры — надежность моста или самолета. Даже в бизнесе, прежде чем запустить новый продукт, проводят испытания. Мы сегодня прикоснулись к инструменту, который помогает принимать решения в условиях неопределенности. В 10 и 11 классе мы узнаем, как считать вероятность успеха, если испытание повторяется много раз. А пока — это ваш надежный балл на ОГЭ." | Ученики слушают, приводят свои примеры (прогнозы погоды, ставки на спорт, игровая индустрия). Осознают междисциплинарный характер темы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Наш урок подходит к концу. Давайте подведем итоги нашей работы."
Этап 9. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: оценить собственные достижения и получить инструкции по домашней работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Ребята, возьмите свои листы самооценки. Поставьте галочку напротив того утверждения, которое вам ближе: 'Я могу сам объяснить тему', 'Я понимаю, но нужен образец', 'Мне пока трудно'. И запишите домашнее задание. Оно будет дифференцированным. Выберите тот уровень, который вам по силам, но я рекомендую попробовать продвинутый. Спасибо за урок, вы сегодня отлично поработали!" | Ученики заполняют листы самооценки, записывают домашнее задание в дневники. Убирают рабочие места. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все задачи самостоятельной работы, работа оформлена аккуратно, даны верные ответы на устные вопросы учителя.
- «4» — допущена одна вычислительная ошибка при верном ходе решения или решены 2 задачи из 3 в самостоятельной работе.
- «3» — решена 1 задача из 3 в самостоятельной работе, ученик понимает смысл формулы p + q = 1, но затрудняется в определении типа исхода.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое определение сегодня было самым понятным? | Выяснить, насколько доступно изложен понятийный аппарат. |
В какой задаче возникло больше всего сомнений? | Выявить скрытые затруднения в интерпретации условий задач. |
Где в жизни, кроме ОГЭ, тебе пригодится формула p + q = 1? | Оценить уровень осознания практической значимости материала. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы заложили фундамент для решения целого блока задач по теории вероятностей. Помните, что в жизни, как и в математике, неудача — это всего лишь обратная сторона успеха, и их сумма всегда дает единицу, то есть полноту опыта. Если сегодня вы чувствовали себя неуверенно — не беда, практика на домашнем задании это исправит. На следующем уроке мы перейдем к более сложным испытаниям с монетами и кубиками. До встречи!"
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 5 задач на нахождение вероятности противоположного события (аналоги задачи про сканер и билеты). | Закрепление навыка вычитания из единицы и работы с десятичными дробями. |
Средний (повышающий) | Составить 3 авторские задачи на тему 'Успех и неудача' из школьной жизни. | Развитие умения моделировать ситуации и применять теорию к практике. |
Продвинутый (дополнительный) | Найти в открытом банке заданий ОГЭ задачу, где используется понятие 'не менее' или 'не более', и попробовать решить её через 'неудачу'. | Подготовка к сложным комбинированным задачам экзамена. |
Контрольные вопросы перед выходом: 1. Чему равна сумма вероятностей успеха и неудачи? 2. Как обозначается вероятность успеха? 3. Является ли бросок кубика испытанием Бернулли, если нас интересует только выпадение 'шестерки'?
