Практическая работа «Вычисление вероятностей с использованием комбинаторных функций электронных таблиц»
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться использовать функции электронных таблиц для вычисления числа сочетаний и вероятностей в задачах на равновероятный выбор, а также проверять результат и округлять его до требуемого формата.
- Научиться переводить условие задачи на язык комбинаторики: выделять общее число исходов и число благоприятных исходов.
- Освоить применение функции вычисления числа сочетаний в электронной таблице и формулу вероятности $P(A)=\frac{m}{n}$.
- Отработать решение практических задач, близких к заданиям ОГЭ, с обязательной проверкой разумности ответа.
- Развивать внимательность при вводе формул, умение сотрудничать в паре и снижать тревожность перед экзаменационными заданиями через пошаговый алгоритм.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность вероятностных расчётов и электронных таблиц для учёбы, экзамена и будущей профессиональной деятельности.
- Проявляют ответственное отношение к точности вычислений и проверке полученного результата.
- Приобретают уверенность в решении задач вероятностного содержания через использование понятного алгоритма.
- Понимают, что ошибка в исходных данных или формуле может привести к неверному выводу, и принимают необходимость самоконтроля.
Метапредметные
- Выделяют из текстовой задачи необходимые данные, неизвестные величины и условие равновероятности.
- Планируют последовательность действий: определить исходы, записать комбинаторную модель, ввести формулу, проверить ответ.
- Используют электронную таблицу для обработки числовой информации и интерпретируют результат вычисления.
- Сопоставляют решение, полученное вручную и с помощью электронной таблицы, находят и исправляют ошибки.
- Формулируют краткий вывод по результатам практической работы и аргументируют выбранный способ решения.
Предметные
- Знать смысл числа сочетаний и случаи его применения при подсчёте равновероятных исходов.
- Уметь вычислять число сочетаний вручную и с помощью комбинаторной функции электронной таблицы.
- Уметь находить вероятность события как отношение числа благоприятных исходов к числу всех исходов.
- Уметь решать практические задачи на выбор объектов без учёта порядка и округлять вероятность до заданного количества знаков.
- Владеть алгоритмом проверки ответа: $0\leq P(A)\leq1$ и сравнение с ожидаемой частотой события.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к решению задач на вероятность и формулируют область, требующую повторения.
- Осознают связь точности математических вычислений с ответственностью при работе с данными.
- Проявляют познавательный интерес к применению электронных таблиц как инструмента решения задач.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную цель практической работы.
- Планируют действия по предложенному алгоритму и распределяют обязанности в паре.
- Осуществляют пошаговый контроль ввода исходных данных и формул.
- Сравнивают результат с эталоном, выявляют причину ошибки и вносят исправления.
- Оценивают собственную работу по критериям точности, полноты и самостоятельности.
Познавательные УУД
- Классифицируют задачи по способу подсчёта исходов: выбор одного объекта, выбор нескольких объектов без учёта порядка.
- Строят математическую модель ситуации и обозначают число всех и благоприятных исходов.
- Используют знаково-символические средства и формулы комбинаторики.
- Извлекают информацию из условия, таблицы и результата вычисления.
- Проверяют решение с помощью альтернативного вычисления или оценки диапазона вероятности.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: оператор электронной таблицы и проверяющий.
- Объясняют партнёру смысл введённой функции и каждого аргумента.
- Задают уточняющие вопросы по условию и корректно сообщают об обнаруженной ошибке.
- Согласовывают общий ответ и представляют краткое обоснование решения.
- Участвуют в обсуждении типичных ошибок без негативной оценки одноклассников.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить компьютерный класс или устройства для работы в парах; проверить запуск электронной таблицы и возможность ввода формул.
- Создать пустой файл электронной таблицы с листами «Алгоритм», «Практика», «Проверка»; открыть доступ к файлу или сохранить его на компьютерах.
- Разместить на экране памятку: «1. Найди все исходы. 2. Найди благоприятные исходы. 3. Вычисли вероятность. 4. Проверь диапазон ответа».
- Подготовить карточки трёх уровней: базовый, повышающий и дополнительный — по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе.
- Распечатать лист самооценки и критерии практической работы — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить файл с формулами электронной таблицы: функция числа сочетаний, деление числа благоприятных исходов на число всех исходов, округление результата.
- Подготовить на доске или слайде пример: из 10 объектов выбирают 3, всего исходов $C_{10}^{3}$; благоприятных исходов $C_{6}^{2}\cdot C_{4}^{1}$.
- Проверить, что на рабочих местах есть тетради, ручки, калькулятор при необходимости и доступ к клавиатуре.
- Заранее определить эталонные ответы к трём практическим задачам и подготовить таблицу взаимопроверки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую деятельность, показать связь темы с заданиями ОГЭ и сформировать спокойную установку на работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не только считать вероятности, но и использовать электронную таблицу как рабочий инструмент. Проверьте, что перед вами открыты тетрадь и файл электронной таблицы. Вспомните: встречаются ли задачи на вероятность в ОГЭ? Важно не угадывать ответ, а действовать по понятному алгоритму». | Проверяют готовность рабочего места, открывают файл, отвечают: «Да, задачи на вероятность встречаются в экзаменационных материалах». Кратко формулируют личную цель: «Научиться не путаться в подсчёте исходов». |
2 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: «В коробке 5 белых и 3 чёрных шара. Наугад достают один шар. Какова вероятность достать белый? Теперь представьте, что достают сразу несколько предметов. Как быстро посчитать число вариантов, не перебирая их вручную? Сегодня нам поможет комбинаторная функция электронной таблицы». Учитель называет приём «Проблемный вопрос». | Устно находят простую вероятность: «5 из 8, значит, $P=\frac{5}{8}$». Формулируют затруднение: «При выборе нескольких объектов трудно перечислить все варианты». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что вероятность связана с отношением числа благоприятных исходов к числу всех исходов. Сегодня научимся быстро находить эти количества с помощью электронной таблицы и проверять решение по алгоритму».
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия случайного события, равновероятных исходов, сочетаний и вероятности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сначала самостоятельно вспомните, что обозначают $n$ и $m$ в формуле вероятности. Запишите ответ за 30 секунд. Затем обсудите его с соседом и подготовьте одну точную формулировку». | Записывают: $n$ — число всех равновероятных исходов, $m$ — число благоприятных исходов. В парах сравнивают формулировки и выбирают точную. |
3 мин | Учитель показывает три утверждения: «1. При выборе команды из 4 человек из 10 порядок выбора важен. 2. Число сочетаний используется, когда выбирают объекты без учёта порядка. 3. Вероятность может быть больше единицы». Просит поднять карточку «верно» или «неверно» и объяснить ответ. | Отмечают: первое утверждение неверно, второе верно, третье неверно. Обосновывают: «Состав команды не меняется от порядка выбора», «вероятность находится от 0 до 1». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы восстановили смысл вероятности и увидели, что главное затруднение возникает при подсчёте большого числа сочетаний. Теперь поставим цель и определим, какие действия должна выполнять электронная таблица».
Этап 3. Постановка проблемы и планирование работы (4 мин)
Цель этапа: сформулировать цель практической работы и принять последовательность действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске условие: «Из 12 учащихся случайно выбирают 3 дежурных. Какова вероятность, что среди выбранных будут ровно 2 девочки, если в классе 7 девочек и 5 мальчиков?» Учитель спрашивает: «Что нужно найти сначала? Почему нельзя просто перемножить 7 и 5?» | Выделяют все исходы $C_{12}^{3}$ и благоприятные исходы $C_{7}^{2}\cdot C_{5}^{1}$. Объясняют: «Нужно учитывать выбор группы, а не порядок появления учеников». |
2 мин | Учитель предлагает составить алгоритм: «Назовите шаги так, чтобы по ним смог работать одноклассник, который волнуется перед ОГЭ. Я буду фиксировать формулировки на доске». | Формулируют алгоритм: «Определить общее число объектов и число выбираемых; записать число всех исходов; записать благоприятные исходы; вычислить вероятность; проверить результат». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель понятна: не просто получить число, а построить прозрачное решение, которое можно проверить. Сейчас я покажу техническую часть — как записать сочетания в электронной таблице».
Этап 4. Открытие нового знания и демонстрация алгоритма (9 мин)
Цель этапа: освоить ввод комбинаторной функции и связать её с математической моделью задачи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует на экране рабочую таблицу: «В ячейках A2 и B2 запишем 12 и 3. В ячейке C2 вычислим число всех исходов — число способов выбрать 3 человека из 12. В зависимости от программы функция может называться COMBIN или СЧЁТЕСЛИ? Проверьте подсказку автозаполнения и выберите функцию числа сочетаний. Общий вид: число объектов и число выбираемых объектов». Учитель показывает формулу с разделителем аргументов, принятым в установленной программе. | Открывают лист «Алгоритм», находят функцию числа сочетаний, вводят в отдельные ячейки значения 12 и 3, получают $C_{12}^{3}=220$. Сверяют результат с экраном. |
3 мин | Учитель продолжает: «Теперь считаем благоприятные исходы. Нужно выбрать 2 девочки из 7 и 1 мальчика из 5. В таблице это произведение двух функций числа сочетаний. После этого вероятность найдём делением благоприятных исходов на общее число исходов. Запишите рядом математическую запись и формулу электронной таблицы». | Вводят $C_{7}^{2}=21$ и $C_{5}^{1}=5$, вычисляют $21\cdot5=105$, затем $P=\frac{105}{220}\approx0{,}4773$. Записывают математическую модель и результат. |
3 мин | Учитель проводит приём «Шпаргалка-напоминание»: «Посмотрите на три проверки. Во-первых, количество благоприятных исходов не должно превышать общего. Во-вторых, вероятность должна быть от 0 до 1. В-третьих, ответ нужно округлять так, как требует условие. Если таблица выдала неожиданное значение, сначала проверяйте аргументы функции и скобки». | Составляют в тетради мини-памятку, проверяют $105<220$ и $0<0{,}4773<1$. Отвечают: «Результат разумен, вероятность немного меньше половины». |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) определить число всех исходов $n$; 2) определить число благоприятных исходов $m$; 3) записать $P(A)=\frac{m}{n}$; 4) вычислить сочетания в электронной таблице; 5) проверить, что $0\leq P(A)\leq1$. При выборе $k$ объектов из $n$ без учёта порядка используют число сочетаний $C_n^k$.
Эталон решения
Всего способов выбрать 3 учащихся из 12: $n=C_{12}^{3}=220$. Благоприятный выбор состоит из 2 девочек и 1 мальчика: $m=C_{7}^{2}\cdot C_{5}^{1}=21\cdot5=105$. Поэтому $P(A)=\frac{105}{220}=\frac{21}{44}\approx0{,}4773$. Ответ: примерно $0{,}477$, или $47{,}7\%$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что электронная таблица не заменяет математическое рассуждение, а быстро выполняет вычислительную часть. Сначала строим модель, затем вводим функцию и только после этого анализируем ответ. Переходим к самостоятельной практике в парах».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм на типовой задаче и научиться объяснять назначение каждой части формулы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с задачей: «В группе 8 красных и 4 синих маркера. Наугад выбирают 3 маркера без возвращения. Найдите вероятность того, что выбраны ровно 2 красных и 1 синий маркер». Учитель напоминает роли: «Один ученик вводит данные, второй проверяет модель, затем поменяйтесь ролями». | Читают условие, обозначают общее число исходов $C_{12}^{3}$ и благоприятные исходы $C_{8}^{2}\cdot C_{4}^{1}$, распределяют роли. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы парам: «Почему в знаменателе 12, а не 8? Почему в числителе произведение? Проверьте, что выбирается именно 3 маркера. Если получили вероятность больше единицы, остановитесь и найдите ошибку в формуле». | Вводят формулы в электронной таблице, получают $C_{12}^{3}=220$, $C_{8}^{2}\cdot C_{4}^{1}=112$, вычисляют $P=\frac{112}{220}\approx0{,}5091$. Объясняют партнёру выбор чисел. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: «Сверьте не только итоговое число, но и три позиции: общее количество объектов, количество выбираемых объектов и структуру благоприятного исхода. Поставьте партнёру две отметки: “модель верна” и “формула введена верно”». | Сравнивают решения двух пар, отмечают совпадение $220$, $112$ и $0{,}5091$, исправляют найденные ошибки, формулируют вывод: «Вероятность примерно равна 50,9%». |
Эталон решения
Всего способов выбрать 3 маркера из 12: $n=C_{12}^{3}=220$. Благоприятных способов: $m=C_{8}^{2}\cdot C_{4}^{1}=28\cdot4=112$. Вероятность: $P(A)=\frac{112}{220}=\frac{28}{55}\approx0{,}5091$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы выполнили полный цикл: прочитали условие, построили модель, вычислили сочетания и проверили результат. Теперь каждый попробует выполнить задание самостоятельно, чтобы понять, какой этап алгоритма уже получается без помощи».
Этап 6. Самостоятельная практическая работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма на задачах практического и экзаменационного типа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и объясняет выбор: «Базовый уровень обязателен для всех. Если справились уверенно, переходите к повышающему. Дополнительное задание выполняйте по желанию. Ваша задача — показать ход решения, а не только число в последней ячейке». | Получают карточку, выбирают уровень после выполнения обязательной части, записывают в таблице исходные данные и формулы. |
5 мин | Учитель наблюдает и адресно помогает вопросами, не сообщая готовый ответ: «Что является одним исходом? Учитывается ли порядок? Какое число стоит в знаменателе? Проверьте, не перепутали ли вы число объектов и число выбираемых объектов». | Индивидуально решают задачу: «Из 9 билетов 3 содержат вопрос по вероятности. Ученик случайно выбирает 2 билета. Найдите вероятность выбрать хотя бы один билет по вероятности». Представляют событие как дополнение: $P(A)=1-\frac{C_{6}^{2}}{C_{9}^{2}}$. |
2 мин | Учитель выводит на экран эталон: «Для события “хотя бы один” часто удобнее посчитать противоположное событие “ни одного”. Сравните свой путь с эталоном, но сначала закройте свою таблицу рукой и выполните проверку самостоятельно». | Проверяют: $C_{9}^{2}=36$, $C_{6}^{2}=15$, $P(A)=1-\frac{15}{36}=\frac{21}{36}=\frac{7}{12}\approx0{,}5833$. Исправляют формулы при необходимости. |
2 мин | Учитель предлагает заполнить лист самооценки: «Отметьте “могу сам”, “могу с подсказкой” или “пока не могу” напротив четырёх действий: определить исходы, записать сочетания, ввести функцию, проверить ответ. Это не наказание, а диагностика следующего шага». | Заполняют самооценку, выделяют один этап, который требуют повторения, и записывают короткую причину ошибки или затруднения. |
Эталон решения
Всего способов выбрать 2 билета из 9: $n=C_{9}^{2}=36$. Противоположное событие — не выбрать ни одного билета по вероятности: $m=C_{6}^{2}=15$. Тогда $P(A)=1-\frac{15}{36}=\frac{21}{36}=\frac{7}{12}\approx0{,}5833$. Ответ: примерно $0{,}583$, или $58{,}3\%$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что электронная таблица особенно полезна, когда нужно быстро вычислить несколько сочетаний. Но правильный результат начинается с правильного понимания слов “хотя бы один”. Завершим урок обобщением и короткой рефлексией».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, оценить уровень освоения материала и дать посильное домашнее задание с учётом индивидуального уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход»: «На отдельной строке напишите ответы на три вопроса: 1) когда применяют число сочетаний; 2) какая формула вероятности используется; 3) какую проверку обязательно выполнить после вычисления. Ответ должен быть коротким, но содержательным». | Пишут: «Сочетания применяют при выборе без учёта порядка», «$P(A)=m/n$», «проверить, что вероятность от 0 до 1 и что благоприятных исходов не больше всех». |
2 мин | Учитель предлагает сигнальную рефлексию: «Покажите цвет: зелёный — могу решить самостоятельно, жёлтый — нужна тренировка, красный — требуется объяснение. Если выбираете жёлтый или красный, укажите конкретный шаг». | Поднимают карточки, называют затруднения: «Путаю аргументы функции», «не понимаю, как считать событие “хотя бы один”», «нужно повторить проверку результата». |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: «Выберите уровень по результатам самооценки. В каждом варианте нужно записывать математическую модель и формулы электронной таблицы. Номера упражнений не задаются: используйте любые подходящие задания из имеющегося у вас учебного материала». | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, уточняют объём и требования к оформлению. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы научились превращать комбинаторную задачу в последовательность действий электронной таблицы. Ошибка в таких задачах чаще всего появляется не в вычислении, а при определении всех и благоприятных исходов. На следующем уроке мы продолжим решать задачи на вероятности составных событий и сравним разные способы проверки ответа».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнена обязательная задача и задача повышенного уровня, правильно определены все и благоприятные исходы, формулы электронной таблицы введены без ошибок, результат округлён корректно, приведена проверка диапазона вероятности.
- «4» — обязательная задача решена верно, математическая модель выбрана правильно, допущена одна несущественная ошибка в записи или округлении и исправлена при самопроверке.
- «3» — определены основные данные задачи и получен частично верный результат, но есть ошибка в подсчёте сочетаний, формуле или интерпретации события; ученик исправляет решение с помощью алгоритма.
- Ниже «3» — отсутствует связная модель вероятности или не различаются общее и благоприятное число исходов; требуется индивидуальная отработка базового алгоритма.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы сегодня научились делать в электронной таблице? | Выявление осознания нового технического и математического действия. |
Как определить, что в задаче нужно использовать число сочетаний? | Проверка понимания признака выбора без учёта порядка. |
На каком шаге решения возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме для последующей коррекции. |
Как вы проверяли разумность своего ответа? | Проверка сформированности навыка самоконтроля и интерпретации результата. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы убедились, что электронная таблица помогает быстро и точно выполнять вычисления, но не заменяет математическое рассуждение. Сначала нужно понять, что является общим исходом и какие исходы благоприятны, затем выбрать функцию и проверить результат. Помните о типичной ошибке: при словах “хотя бы один” часто удобнее рассматривать противоположное событие. Вы уже умеете выполнять такой расчёт пошагово, поэтому экзаменационная задача становится управляемой. На следующем уроке мы продолжим работу с составными событиями и научимся выбирать наиболее короткий способ решения».»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на вычисление вероятности выбора 1–3 объектов без учёта порядка; для каждой задачи записать $n$, $m$, формулу $P(A)=m/n$ и формулу электронной таблицы. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на различение общего и благоприятного числа исходов и на диапазон вероятности. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи на выбор объектов с условиями «ровно», «не менее» и «хотя бы один», используя число сочетаний и электронную таблицу; округлить ответы до тысячных. | Формирует умение переводить словесное условие в комбинаторную модель и выбирать противоположное событие; проверить структуру формулы и округление. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную практическую задачу на случайный выбор 3 объектов из 10–15, решить её двумя способами: вручную по формуле и с помощью электронной таблицы, затем сравнить результаты. | Развивает создание математической модели и критическую проверку вычислений; оценить реалистичность условия и совпадение двух способов. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Когда выбор объектов описывают сочетаниями? Что обозначают $n$ и $m$ в формуле вероятности? Почему вероятность не может быть больше 1? Как проверить, что формула электронной таблицы введена правильно?»
