Степень вершины графа. Число рёбер, суммарная степень вершин. Цепь и цикл
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться находить степень вершины графа, определять число рёбер по суммарной степени вершин, распознавать и строить цепи и циклы, применяя знания в не менее чем четырёх практических заданиях.
- Закрепить понимание графа как модели объектов и связей, ввести понятия степени вершины, цепи и цикла.
- Сформировать умение подсчитывать степени вершин и устанавливать связь между числом рёбер и суммарной степенью всех вершин.
- Развивать умение работать в паре, аргументировать способ решения, проверять результат по рисунку и таблице.
- Воспитывать аккуратность математической записи, ответственность за общий результат и интерес к применению графов в маршрутах, социальных сетях и компьютерных технологиях.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к моделированию реальных связей с помощью графов.
- Осознают ценность точного подсчёта и проверки результата при решении практических задач.
- Принимают ответственность за собственный вклад в парную работу.
- Связывают изучаемые понятия с профессиями программиста, аналитика данных, логиста и инженера.
Метапредметные
- Извлекают информацию из рисунка графа, таблицы и интерактивной модели.
- Планируют решение, выбирая подходящий способ подсчёта: по рисунку, таблице смежности или сумме степеней.
- Сравнивают решения, находят ошибки и обосновывают исправления.
- Сотрудничают в паре и группе, формулируют выводы в устной и письменной форме.
- Используют цифровую модель графа для проверки гипотезы о связи числа рёбер и степеней вершин.
Предметные
- Знать определения степени вершины, цепи и цикла.
- Уметь находить степень каждой вершины по изображению графа.
- Уметь вычислять число рёбер по формуле суммы степеней вершин.
- Уметь отличать цепь от цикла и строить их в заданном графе.
- Владеть способом проверки равенства суммы степеней вершин удвоенному числу рёбер.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личную значимость умения анализировать связи и маршруты в окружающем мире.
- Проявляют готовность к самостоятельному выбору уровня задания.
- Оценивают собственный вклад в парное обсуждение и общий результат.
- Формируют положительное отношение к математическому моделированию.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель практической работы и составляют последовательность действий.
- Распределяют время между подсчётом, записью и проверкой результата.
- Используют самопроверку по формуле и эталону.
- Обнаруживают ошибку в подсчёте и корректируют решение.
- Оценивают уровень освоения понятий с помощью листа самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют вершины и рёбра на рисунке графа.
- Классифицируют маршруты как цепи или циклы.
- Устанавливают закономерность: каждое ребро увеличивает сумму степеней на два.
- Переводят графическую модель в таблицу степеней вершин.
- Проверяют гипотезы на конкретных примерах и в цифровой модели.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: чертёжник, счётчик, проверяющий и докладчик.
- Задают уточняющие вопросы по условию и способу решения.
- Аргументируют, почему выбранный маршрут является цепью или циклом.
- Сравнивают разные способы решения без перехода на оценку личности.
- Формулируют общий вывод и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с изображениями четырёх графов: простого, разветвлённого, содержащего цепь и содержащего цикл.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика и дополнительный комплект для парной проверки.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «нахожу степень вершины», «нахожу число рёбер», «отличаю цепь от цикла».
- Вывести на доску памятку: «Степень вершины — число рёбер, выходящих из вершины» и формулу $d(v_1)+d(v_2)+...+d(v_n)=2E$.
- Подготовить карточки с названиями городов и маршрутами для практической задачи.
- Подготовить проектор, компьютер, интерактивную доску и цифровую модель графа, в которой можно добавлять вершины и рёбра.
- Подготовить маркеры, стикеры и листы формата А4 для построения графов в парах.
- Открыть в учебнике тему урока; заранее выбрать задания на чтение определения, базовый подсчёт и применение формулы без указания номеров и страниц.
- Подготовить таймер на 3–5 минут для практических заданий и сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (5 мин)
Цель этапа: включить учеников в практическую работу и показать связь графов с реальными маршрутами и сетями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране схему авиамаршрутов между пятью городами: "Посмотрите на схему. Точки обозначают города, линии — прямые рейсы. Как быстро понять, какой город связан с наибольшим числом других городов? Сегодня мы будем отвечать на этот вопрос не на глаз, а с помощью точного математического инструмента." | Рассматривают схему, называют вершины и рёбра, предполагают: "Нужно посчитать линии, которые выходят из каждого города". |
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем обсудите с соседом, что именно можно считать у точки графа. После этого две пары предложат классу свои формулировки." Учитель фиксирует на доске ключевые слова «связь», «выходит», «подсчёт». | Самостоятельно формулируют идею, обсуждают её в парах и сообщают: "Для каждой вершины можно посчитать количество рёбер, которые к ней подходят". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что граф позволяет изучать не только рисунок, но и количество связей каждой точки. Сейчас восстановим необходимые понятия и найдём точное название этого количества."
Этап 2. Актуализация знаний и физкультминутка (10 мин)
Цель этапа: повторить вершины, рёбра и способы чтения графа, снять напряжение короткой двигательной активностью.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель показывает на доске граф с вершинами $A$, $B$, $C$, $D$, $E$: "Назовите вершины, рёбра и пары вершин, соединённые ребром. Какая вершина связана с наибольшим числом других? Не угадывайте — проведите пальцем по каждому ребру и пересчитайте." Учитель просит двух учеников отметить рёбра разными цветами. | Называют вершины и рёбра, отмечают связи на рисунке, отвечают: "Вершина $C$ имеет больше всего соединений". |
3 мин | Учитель проводит физкультминутку «Живой граф»: "Представьте, что вы вершины. По моей команде соединитесь парами, взявшись за руки. Сосчитайте, сколько связей у каждого. Теперь измените одну связь и определите, у кого степень увеличилась." | Перемещаются по классу безопасно, образуют пары, считают собственные «связи», формулируют: "Если добавили одно ребро к вершине, её степень увеличилась на один". |
2 мин | Учитель задаёт блиц-вопросы: "Что обозначает вершина? Что обозначает ребро? Можно ли по рисунку определить число связей вершины?" | Отвечают полными фразами: "Вершина обозначает объект, ребро — связь между объектами; число связей можно найти подсчётом рёбер, выходящих из вершины". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы повторили, как читать граф, и убедились, что добавление ребра меняет количество связей. Теперь выясним, как называется это количество и как использовать его для подсчёта всех рёбер."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (7 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при подсчёте большого графа и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает граф с 8 вершинами и 12 рёбрами: "Попробуйте за минуту назвать число рёбер, связанных с каждой вершиной, а затем сложить полученные числа. Почему при таком подсчёте можно получить число, не совпадающее с количеством нарисованных рёбер?" | Считают степени нескольких вершин, замечают повторный учёт и отвечают: "Каждое ребро соединяет две вершины, поэтому оно будет посчитано дважды". |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Как по степеням всех вершин быстро найти число рёбер? И как по графу понять, что маршрут является цепью или циклом?" | Записывают вопросы, предлагают план: ввести название степени, вывести правило подсчёта рёбер, разобрать цепь и цикл, потренироваться. |
2 мин | Учитель оформляет на доске цель: "Научиться находить степени вершин, вычислять число рёбер и распознавать цепи и циклы". Просит выбрать личный уровень: базовый, повышенный или исследовательский. | Записывают тему и цель, выбирают уровень практических карточек, объясняют выбор: "Начну с базового, а затем попробую повышенный". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение возникло из-за двойного учёта каждого ребра. Сейчас вы сами проверите это правило на конкретном графе и запишете его как математическую закономерность."
Этап 4. Открытие нового знания и работа с учебником (18 мин)
Цель этапа: сформировать понятия степени вершины, суммарной степени, цепи и цикла через анализ текста и рисунков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель обращается к тексту темы в учебнике: "Прочитайте определение степени вершины и найдите в рисунке вершины со степенями 1, 2 и 3. Отметьте карандашом слово, которое показывает, что именно нужно считать. Обсудите с соседом, совпали ли ваши ответы." | Читают фрагмент учебника, выделяют определение, считают рёбра у выбранных вершин, сверяют результаты в парах. |
5 мин | Учитель демонстрирует граф с вершинами $A$, $B$, $C$, $D$ и рёбрами $AB$, $AC$, $BC$, $CD$: "Найдём степени по очереди. У вершины $A$ два ребра, у $B$ два, у $C$ три, у $D$ одно. Сложите степени. Что получилось? Сколько рёбер на рисунке?" | Записывают $d(A)=2$, $d(B)=2$, $d(C)=3$, $d(D)=1$, вычисляют $2+2+3+1=8$, сравнивают с $E=4$, формулируют: "Сумма степеней в два раза больше числа рёбер". |
4 мин | Учитель записывает на доске: $d(v_1)+d(v_2)+...+d(v_n)=2E$, затем преобразует формулу: $E=\frac{d(v_1)+d(v_2)+...+d(v_n)}{2}$. "Обратите внимание: каждое ребро имеет два конца, поэтому в сумме степеней оно учитывается дважды." | Переписывают формулу, проговаривают правило, решают устно пример с суммой степеней 14: "Число рёбер равно 7". |
4 мин | Учитель показывает два маршрута: $A-B-C-D$ и $A-B-C-D-A$: "Первый маршрут проходит по последовательным рёбрам и не возвращается в исходную вершину. Второй возвращается в начало. Прочитайте определения в учебнике и определите, где цепь, а где цикл." | Сравнивают маршруты, отвечают: "$A-B-C-D$ — цепь, $A-B-C-D-A$ — цикл, потому что цикл начинается и заканчивается в одной вершине". |
Запись в тетрадях
Степень вершины — число рёбер, выходящих из этой вершины. Если $E$ — число рёбер, то сумма степеней всех вершин равна $2E$: $d(v_1)+d(v_2)+...+d(v_n)=2E$. Цепь — последовательность вершин, в которой соседние вершины соединены рёбрами. Цикл — цепь, которая начинается и заканчивается в одной вершине.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть два инструмента: степень вершины для анализа связей и формула для подсчёта рёбер. Мы также различаем цепь и цикл. Проверим новое знание на коротких заданиях с проговариванием каждого шага."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (15 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы нахождения степеней, числа рёбер, цепи и цикла в практических заданиях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточку базового уровня с графом из 6 вершин: "В паре подпишите степень каждой вершины. Один ученик считает, второй фиксирует, затем поменяйтесь ролями. После трёх минут сравните результат с парой справа." | В парах считают степени, записывают значения около вершин, сверяют ответы и исправляют расхождения. |
5 мин | Учитель предлагает задание повышенного уровня: "В графе степени пяти вершин равны 2, 3, 1, 2 и 4. Найдите число рёбер. Обязательно запишите сначала сумму степеней, затем примените формулу и объясните, почему ответ целый." | Вычисляют $2+3+1+2+4=12$, затем $E=12:2=6$, объясняют: "Сумма степеней должна быть чётной, потому что каждое ребро учитывается дважды". |
5 мин | Учитель выдаёт карточку с маршрутами: $A-B-C-D$, $A-C-D-B$ и $A-B-C-A$: "Определите, какие записи являются цепями, а какая является циклом. Проверьте, существуют ли соответствующие рёбра на рисунке." | Проверяют каждую последовательность по графу, отмечают цепи и цикл, аргументируют: "$A-B-C-A$ — цикл, потому что последняя вершина совпадает с первой". |
Эталон решения
Если степени вершин равны 2, 3, 1, 2 и 4, то их сумма равна $2+3+1+2+4=12$. По формуле $2E=12$, поэтому $E=6$. Ответ: в графе 6 рёбер. Маршрут $A-B-C-A$ является циклом, так как начинается и заканчивается в вершине $A$; маршруты, не возвращающиеся в исходную вершину, являются цепями.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы потренировались считать степени и использовать формулу в паре. Важно не только получить число, но и проверить, что сумма степеней чётная и что каждое соседство маршрута действительно есть на рисунке. Переходим к самостоятельной работе."
Этап 6. Самостоятельная работа с цифровой проверкой (18 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение материала и применить знания в цифровой модели графа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите один уровень. На базовом уровне найдите степени вершин готового графа. На повышенном вычислите число рёбер по степеням. На исследовательском постройте граф с четырьмя вершинами, в котором есть цикл и вершина степени 3. Работайте индивидуально, запись решения обязательна." | Индивидуально выполняют выбранную карточку, подписывают степени, применяют формулу или строят граф с заданными свойствами. |
5 мин | Учитель организует взаимопроверку по критериям на доске: "Проверьте три пункта: все вершины учтены, каждая степень посчитана правильно, формула применена с делением на два. Поставьте партнёру две звезды и одно пожелание." | Обмениваются работами, отмечают два правильных элемента и один конкретный совет, например: "Проверь сумму степеней вершины $C". |
5 мин | Учитель открывает цифровую модель графа: "Добавьте одно ребро и проследите, как изменились степени его концов и сумма степеней. Затем удалите ребро. Сделайте вывод в одной фразе." | В цифровой модели добавляют и удаляют ребро, наблюдают изменение двух степеней на 1, формулируют: "Одно ребро изменяет сумму степеней на 2". |
Эталон решения
При добавлении ребра $AB$ степень вершины $A$ увеличивается на 1, степень вершины $B$ увеличивается на 1. Поэтому суммарная степень всех вершин увеличивается на $1+1=2$, а число рёбер увеличивается на 1. Равенство $\sum d(v)=2E$ сохраняется.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что вы умеете применять правило без подсказки. Цифровой эксперимент подтвердил формулу на изменяющемся графе. Осталось обобщить знания и проверить, какие вопросы требуют дополнительной тренировки."
Этап 7. Включение в систему знаний: практическая задача (9 мин)
Цель этапа: применить понятия графа к реальному контексту маршрутов и связать их с информатикой и логистикой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель показывает схему метро с шестью станциями: "Станции обозначены вершинами, переходы — рёбрами. Найдите степень каждой станции. Какой маршрут от станции $A$ до станции $F$ является цепью? Можно ли предложить маршрут, который вернётся в исходную станцию и будет циклом?" | Считывают схему, составляют таблицу степеней, записывают пример цепи $A-B-C-F$ и пример цикла, если он есть, обосновывают выбор. |
4 мин | Учитель связывает результат с межпредметными областями: "В информатике графы описывают компьютерные сети, в географии — дороги, в логистике — маршруты доставки. Почему диспетчеру важно знать степень вершины?" | Обсуждают в парах и отвечают: "Вершина большой степени имеет много связей, через неё можно организовать несколько маршрутов, но при перегрузке она может стать узким местом". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Графы помогают описывать реальные системы, а степень вершины показывает количество доступных связей. Теперь зафиксируем личный результат урока и сформулируем, что нужно повторить дома."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (8 мин)
Цель этапа: осознать освоенные способы действий, выявить затруднения и получить разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт лист самооценки: "Отметьте зелёным пункт, который выполняете уверенно, жёлтым — тот, где нужна тренировка, красным — тот, который пока не получается. Поставьте рядом пример задания, вызвавшего затруднение." | Заполняют лист самооценки, отмечают уровень понимания и конкретное затруднение. |
2 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход»: "На стикере ответьте на вопрос: почему сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер? Второй вопрос: чем цепь отличается от цикла?" | Письменно отвечают: "Каждое ребро имеет два конца и учитывается дважды"; "Цикл возвращается в исходную вершину". |
3 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и при желании добавьте повышающий или дополнительный. Главное — записывайте не только ответ, но и способ проверки." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы по выбранному уровню. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились видеть в графе не просто рисунок, а систему связей. Проверяйте себя двумя способами: подсчётом рёбер и суммой степеней. На следующем уроке продолжим исследовать свойства графов и маршрутов."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно найдены степени всех вершин, правильно вычислено число рёбер по формуле, корректно различены цепь и цикл, решение записано с пояснением и выполнена проверка.
- «4» — выполнены основные задания, допущена одна вычислительная или графическая ошибка, понятия цепи и цикла различены, способ решения в целом записан верно.
- «3» — верно выполнено не менее половины базовых заданий, степень хотя бы большинства вершин найдена правильно, но есть ошибки в формуле или классификации маршрутов.
- Ниже отметки «3» — отсутствует устойчивое понимание степени вершины, не выполнена проверка суммы степеней или не различены цепь и цикл.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое степень вершины и как её найти на рисунке? | Проверка понимания основного определения. |
Почему сумму степеней всех вершин нужно делить на 2, чтобы найти число рёбер? | Выявление понимания двойного учёта каждого ребра. |
Чем цепь отличается от цикла? Приведите пример записи маршрута. | Проверка предметного умения распознавать маршруты. |
Какое задание оказалось самым сложным и какую подсказку вы использовали? | Выявление точек затруднения и эффективности стратегий самопомощи. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились определять степень вершины и использовать важное правило: сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер. Мы увидели, что цепь не обязана возвращаться в начальную точку, а цикл обязательно возвращается. Типичная ошибка — посчитать каждое ребро один раз при сложении степеней, поэтому всегда вспоминайте о двух его концах. На следующем уроке мы продолжим работать с маршрутами и свойствами графов."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания по готовым рисункам графов: найти степени всех вершин, вычислить сумму степеней и указать число рёбер; в двух маршрутах отметить цепь и цикл. | Закрепляет определения и алгоритм подсчёта; при проверке смотреть на полноту учёта вершин и правильное деление суммы на 2. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи: восстановить число рёбер по заданным степеням вершин, проверить возможность указанного набора степеней и построить граф с заданным циклом и вершиной степени 3. | Развивает применение формулы и умение строить граф по условиям; при проверке учитывать соответствие рисунка всем ограничениям. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную модель транспортной или компьютерной сети из 6–8 вершин, подписать степени вершин, указать один маршрут-цепь и один маршрут-цикл, вычислить число рёбер двумя способами. | Формирует умение создавать математическую модель и объяснять её; при проверке смотреть на реалистичность связей, точность расчётов и аргументацию. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как называется число рёбер, выходящих из вершины?», «Как связаны сумма степеней и число рёбер?», «В каком случае маршрут является циклом?». Ответьте устно на один вопрос и назовите действие, которое будете выполнять первым при решении задачи по графу.
