Практическая работа №5. Частота выпадения орла
Цели и задачи
- Цель: за 45 минут провести серию подбрасываний монеты, зафиксировать результаты, вычислить частоту выпадения орла и сформулировать вывод о том, как частота изменяется при увеличении числа испытаний.
- Проверить на практике связь между числом выпадений орла и общим числом подбрасываний по формуле $w=\frac{m}{n}$, где $m$ — число выпадений орла, а $n$ — число испытаний.
- Научиться оформлять результаты эксперимента в таблице, выполнять вычисления и сравнивать результаты собственной группы с результатами класса.
- Развивать умение работать по инструкции, распределять роли в группе, проверять вычисления и аргументировать выводы на основе данных.
- Формировать ответственное отношение к точности измерений и понимание роли вероятностных методов в естественных науках, спорте и повседневных решениях.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к исследованию случайных явлений через собственный эксперимент.
- Осознают ценность честной фиксации результатов и аккуратности при обработке данных.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня дополнительного задания и распределении ролей в группе.
- Понимают, что статистические данные помогают принимать обоснованные решения в разных сферах деятельности.
Метапредметные
- Планируют последовательность эксперимента, распределяют время и контролируют выполнение этапов работы.
- Извлекают информацию из инструкции и учебного материала, представляют данные в таблице.
- Сравнивают результаты нескольких групп, находят различия и предлагают возможные причины расхождений.
- Сотрудничают в группе, формулируют вывод и представляют его классу.
- Используют калькулятор или электронную таблицу для проверки вычислений, если это разрешено учителем.
Предметные
- Знать смысл понятий «случайный опыт», «число испытаний», «частота события».
- Уметь проводить серию подбрасываний монеты и фиксировать результаты без выборочного исключения данных.
- Уметь вычислять частоту выпадения орла по формуле $w=\frac{m}{n}$ и представлять результат в виде десятичной дроби или процента.
- Уметь сравнивать частоты при разных объёмах выборки и формулировать вывод о тенденции изменения результата.
- Владеть навыком проверки соответствия суммы результатов общему числу испытаний.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личную ответственность за достоверность внесённых в таблицу результатов.
- Проявляют познавательный интерес к исследованию случайности и закономерностей.
- Соотносят точность экспериментальной работы с будущими учебными и профессиональными задачами.
- Оценивают собственный вклад в общую работу группы.
Регулятивные УУД
- Принимают и удерживают цель практической работы.
- Планируют количество испытаний, распределяют роли и соблюдают временные ограничения.
- Проверяют вычисления по формуле и исправляют обнаруженные ошибки.
- Оценивают качество результата по заданным критериям.
- Формулируют, какие действия следует изменить при повторном эксперименте.
Познавательные УУД
- Моделируют случайный опыт с помощью подбрасывания монеты.
- Переводят результаты наблюдений в таблицу и числовые показатели.
- Сравнивают данные малой и большой выборки, выделяют сходства и различия.
- Устанавливают связь между числом испытаний и устойчивостью частоты.
- Формулируют вывод на основе фактических данных, а не отдельного наблюдения.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли экспериментатора, счётчика, секретаря и докладчика.
- Согласовывают единый способ записи результатов в группе.
- Задают уточняющие вопросы и аргументируют выбор вывода.
- Представляют результаты группы и корректно сравнивают их с результатами одноклассников.
- Разрешают разногласия на основе записи наблюдений и повторной проверки подсчёта.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить по одной одинаковой монете на каждую группу из 3–4 учащихся и несколько запасных монет.
- Распечатать бланки практической работы: по одному на каждого ученика и один сводный лист на группу.
- Подготовить карточки трёх уровней сложности: базовую, повышающую и дополнительную — по одной карточке каждого уровня на группу.
- Вывести на доску или экран алгоритм: поставить цель, провести испытания, записать данные, вычислить частоту, сравнить результаты, сформулировать вывод.
- Заранее начертить на доске таблицу для сводных результатов групп: номер группы, число испытаний, число орлов, частота орла.
- Подготовить таймер на 5 минут для серии из 30 подбрасываний и на 7 минут для расширенной серии.
- Подготовить калькуляторы или разрешить использование калькулятора на телефоне только для проверки вычислений.
- Подготовить слайд с формулами $w=\frac{m}{n}$ и $w\cdot100\%$ и напоминанием: $m$ не может быть больше $n$.
- Освободить место на партах, провести инструктаж: монету подбрасывают над столом, не бросают в сторону и не меняются монетами во время серии.
- Для физкультминутки подготовить короткую инструкцию на экране: встать, выполнить движения «орёл — руки вверх, решка — руки в стороны».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать безопасную и заинтересованную работу, связать практическое исследование с реальной задачей статистики.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает монету: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы не будем угадывать, сколько раз выпадет орёл, а проверим это экспериментом. Посмотрите на монету: заранее нельзя достоверно сказать, какой стороной она упадёт. Но можно собрать данные и проанализировать их. Проверьте, что на парте есть тетрадь, ручка и бланк практической работы." | Проверяют готовность к работе, рассматривают монету, формулируют предположение: "Орёл и решка могут выпадать примерно одинаково часто". |
2 мин | Учитель объявляет приём «Проблемный вопрос»: "Если одна группа подбросит монету 10 раз, а другая — 100 раз, у какой группы частота орла будет ближе к половине? Запишите пока личное предположение, не обсуждая его." | Записывают индивидуальное предположение и объяснение в одном предложении: "При большем числе испытаний результат обычно устойчивее" или приводят собственную гипотезу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы проверим ваши предположения не спором, а данными. Сначала уточним, как правильно организовать и посчитать эксперимент."
Этап 2. Инструктаж и актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия частоты и относительной частоты, обеспечить единый алгоритм эксперимента.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске формулу: $w=\frac{m}{n}$. "Вспомним обозначения. Что означает $m$? Что означает $n$? Почему частота не может быть больше 1? Приведите пример для 20 подбрасываний, если орёл выпал 9 раз." | Отвечают: "$m$ — число выпадений орла, $n$ — общее число подбрасываний"; вычисляют $w=\frac{9}{20}=0{,}45$ и объясняют, что $0\leq w\leq1$. |
3 мин | Учитель раздаёт бланк и проговаривает алгоритм: "В каждой группе будут экспериментатор, счётчик, секретарь и докладчик. Монету подбрасываем одинаково, каждый результат фиксируем сразу. После серии пересчитываем орлов и проверяем: число орлов плюс число решек должно равняться числу испытаний. Не стирайте неудачные результаты — случайность нельзя подгонять под ожидание." | Распределяют роли, находят в бланке строки для 10, 30 и 50 испытаний, задают уточняющие вопросы, записывают формулу и правила проверки. |
Запись в тетрадях
Тема: «Практическая работа №5. Частота выпадения орла». Записать: $w=\frac{m}{n}$; $m$ — число выпадений орла; $n$ — число испытаний; $w\cdot100\%$ — частота в процентах.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы договорились, что каждое испытание фиксируем честно, а частоту вычисляем после подсчёта. Теперь приступаем к главной части работы — собираем собственные данные."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Проведение эксперимента: серия из 30 подбрасываний (8 мин)
Цель этапа: получить первичные экспериментальные данные и оформить их без пропусков и исправлений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: "Группы, приготовьте монету и бланк. Экспериментатор подбрасывает монету над столом, счётчик вслух называет результат, секретарь ставит отметку в строке 1–30. На выполнение серии — пять минут. Докладчик следит, чтобы роли соблюдались." | Занимают рабочие места, ещё раз проговаривают роли, готовят таблицу результатов. |
5 мин | Учитель запускает таймер и наблюдает: "Начинаем серию из 30 испытаний. Не ускоряйтесь настолько, чтобы потерять результат. Если монета упала на ребро или покинула стол, зафиксируйте это как недействительное испытание и повторите бросок по общему правилу." | Подбрасывают монету 30 раз, отмечают «О» или «Р», считают результаты, при необходимости повторяют только недействительное испытание. |
2 мин | Учитель просит проверить запись: "Сосчитайте количество букв О и букв Р. Сумма должна быть равна 30. Если числа не совпали, не переписывайте таблицу — найдите конкретную строку, где потеряли результат." | Пересчитывают орлов и решек, исправляют только арифметическую ошибку, записывают $m$, $n=30$ и вычисляют частоту. |
Эталон решения
Если в серии из 30 испытаний орёл выпал 17 раз, то $m=17$, $n=30$. Частота равна $w=\frac{17}{30}\approx0{,}567$, или примерно $56{,}7\%$. Число решек: $30-17=13$. Проверка: $17+13=30$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Первая серия готова, но один результат ещё не позволяет делать общий вывод. Сейчас сравним данные групп и увидим, насколько различаются частоты при одинаковом числе испытаний."
Этап 4. Свод данных и межпредметная связь (7 мин)
Цель этапа: сравнить результаты групп и показать применение статистики в естественно-научном исследовании и анализе данных.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель приглашает докладчиков к доске: "Каждая группа назовёт число испытаний, число орлов и частоту. Я внесу данные в общую таблицу. Напоминаю: сравниваем не только число орлов, но и частоту, потому что объём работы должен учитываться." | Докладчики называют данные, класс сверяет их с групповыми бланками, один ученик от группы переносит итоговые числа в тетрадь. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "У какой группы частота оказалась самой большой? У какой — самой маленькой? Можно ли по этому сразу утверждать, что одна монета лучше другой? Почему?" | Сравнивают значения частот, отвечают: "Нет, различие могло возникнуть случайно; нужно больше испытаний и повторов". |
2 мин | Учитель устанавливает межпредметную связь: "Такие таблицы используют в биологии при подсчёте признаков, в физике при обработке измерений, в информатике при анализе данных. Представьте, что вы проверяете качество детали или результаты спортивных бросков: почему одной попытки недостаточно?" | Приводят примеры: подсчёт попаданий, измерение роста растений, проверка качества изделий; формулируют вывод о необходимости серии наблюдений. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что при одинаковом количестве испытаний частоты могут различаться. Теперь проверим, изменится ли устойчивость результата, если увеличить объём серии."
Этап 5. Расширенная практическая работа и физкультминутка (9 мин)
Цель этапа: увеличить объём выборки, сравнить частоты и снять физическое напряжение в ходе короткой двигательной паузы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает выбор: "Группа может продолжить общую серию до 50 испытаний или выполнить две независимые серии по 25. Выберите вариант и запишите его в бланке. Важно не менять правила подсчёта." | Выбирают вариант, фиксируют план и распределяют роли на продолжение работы. |
5 мин | Учитель запускает таймер: "Продолжайте эксперимент. После каждого результата секретарь ставит отметку, а счётчик через каждые десять бросков называет промежуточное количество орлов. В конце вычислите новую частоту и сравните её с частотой после 30 испытаний." | Выполняют дополнительные подбрасывания, подсчитывают общее число орлов, вычисляют частоту для 50 испытаний или для двух серий по 25. |
3 мин | Учитель проводит физкультминутку: "Отложите монеты и встаньте. Если я называю «орёл», поднимите руки вверх, если «решка» — разведите их в стороны. Выполняем шесть спокойных движений, затем сделаем вдох, выдох и сядем. После паузы запишите итоговую частоту." | Выполняют шесть движений по сигналу, восстанавливают рабочую позу, записывают итоговые значения и сравнение частот. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увеличили число наблюдений и получили второй показатель. Осталось проверить себя индивидуально и объяснить результат уже без подсказки группы."
Этап 6. Самостоятельная работа с заданиями разной сложности (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание формулы, обработки результатов и интерпретации частоты.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень самостоятельно. Базовый обязателен для всех, повышающий можно взять вместо базового при уверенной работе, дополнительный — для тех, кто хочет проверить гипотезу глубже. Записывайте вычисления, а не только ответ." | Выбирают карточку, подписывают уровень и начинают индивидуальное решение. |
4 мин | Учитель напоминает условия карточек. Базовый: в 20 бросках орёл выпал 11 раз — найти частоту. Повышающий: сравнить частоты $\frac{24}{40}$ и $\frac{29}{50}$. Дополнительный: объяснить, почему результат серии из 10 бросков может сильнее отличаться от $0{,}5$, чем результат серии из 100 бросков. | Решают выбранное задание: вычисляют частоты, сравнивают значения, записывают объяснение со ссылкой на объём выборки. |
2 мин | Учитель выводит эталон: для базового задания $w=\frac{11}{20}=0{,}55$; для повышающего $\frac{24}{40}=0{,}6$, $\frac{29}{50}=0{,}58$. "Проверьте не только ответ, но и запись формулы." | Выполняют самопроверку, подчёркивают место возможной ошибки, исправляют вычисления другим цветом. |
Эталон решения
Базовый уровень: $m=11$, $n=20$, поэтому $w=\frac{11}{20}=0{,}55=55\%$. Повышенный уровень: $\frac{24}{40}=0{,}6$, $\frac{29}{50}=0{,}58$; первая частота больше на $0{,}02$. В дополнительном задании следует указать, что при малом числе испытаний один или несколько случайных результатов сильнее меняют долю орлов, а при большем числе испытаний относительная частота обычно становится устойчивее.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная проверка показала, умеете ли вы не только подбрасывать монету, но и объяснять полученные числа. Завершим работу короткой рефлексией и зафиксируем, что именно нужно перенести в домашнее задание."
Этап 7. Рефлексия и подведение итогов (5 мин)
Цель этапа: осмыслить результат практической работы, выявить затруднения и оценить вклад каждого ученика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Одноминутная рефлексия»: "За одну минуту завершите три фразы: «Я научился…», «Для точного эксперимента важно…», «Мне нужно потренироваться…». Затем обменяйтесь листами с соседом и отметьте одну сильную сторону ответа." | Заполняют три фразы, читают ответ партнёра, отмечают конкретную сильную сторону: точность подсчёта, формулу или вывод. |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что произошло с частотой после увеличения числа испытаний? Почему результаты групп не совпали? Какую ошибку в таком эксперименте нельзя допускать?" | Отвечают: "Частота обычно становится устойчивее"; "результаты случайны"; "нельзя пропускать или подгонять результаты". |
1 мин | Учитель проводит самооценку «Светофор»: "Зелёный — могу сам вычислить частоту и объяснить её; жёлтый — формулу понимаю, но нужна тренировка; красный — прошу разобрать вычисление ещё раз." | Поднимают карточку выбранного цвета и записывают в бланке одно действие для улучшения результата. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы получили собственные данные, вычислили частоту орла и увидели значение объёма выборки. Теперь оформим результат работы и выберем домашнее задание по уровню сложности."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — эксперимент проведён полностью, результаты 30 и расширенной серии зафиксированы без пропусков, вычисления частот выполнены верно, таблица оформлена аккуратно, вывод связывает устойчивость частоты с увеличением числа испытаний.
- «4» — эксперимент и основные вычисления выполнены, но допущена одна неточность в оформлении или сравнении результатов, не повлиявшая на общий вывод.
- «3» — зафиксирована не менее чем одна серия испытаний, формула применена с помощью учителя, вычисления частично верны, вывод сформулирован неполно.
- Ниже «3» — данные отсутствуют или не позволяют проверить ход эксперимента; работу необходимо доработать по бланку и повторно представить результаты.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о частоте выпадения орла? | Выявление осознания смысла относительной частоты и связи с числом испытаний. |
Как изменился результат после увеличения числа подбрасываний? | Проверка понимания устойчивости частоты при большем объёме данных. |
На каком шаге практической работы возникло затруднение? | Выявление точек затруднения: фиксация, подсчёт, формула или вывод. |
Какую роль в группе вы выполняли и что сделали для точности результата? | Оценка личного вклада, ответственности и навыков сотрудничества. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы сами организовали случайный эксперимент и превратили отдельные броски монеты в статистические данные. Мы увидели, что частота одной небольшой серии может заметно отклоняться от ожидаемой, а при увеличении числа испытаний результат обычно становится устойчивее. Типичная ошибка — считать только число орлов и забывать учитывать общее число бросков. На следующем уроке мы продолжим работать с представлением и сравнением статистических данных."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Провести дома одну серию из 30 подбрасываний монеты, записать каждый результат, вычислить частоту орла и оформить краткий вывод. | Закрепляет алгоритм эксперимента и применение формулы; при проверке смотреть на полноту записи и соответствие суммы орлов и решек общему числу испытаний. |
Средний (повышающий) | Провести две серии по 30 подбрасываний, сравнить частоты орла, представить результаты в таблице и объяснить, почему они могли различаться. | Развивает сравнение выборок и аргументацию на основе данных; при проверке смотреть на корректность двух вычислений и объяснение случайных различий. |
Продвинутый (дополнительный) | Провести серию из 100 подбрасываний или объединить результаты нескольких членов семьи, сравнить частоту орла с результатом серии из 30 испытаний и подготовить небольшой график или диаграмму. | Формирует исследовательские навыки, работу с большим объёмом данных и представление результатов; при проверке смотреть на честность фиксации, масштаб диаграммы и обоснованный вывод. |
Контрольные вопросы перед выходом: что обозначают $m$ и $n$ в формуле $w=\frac{m}{n}$? Почему частота может быть равна $0{,}6$? Что обязательно нужно проверить после подсчёта орлов и решек? Почему увеличение числа испытаний обычно делает частоту устойчивее?
