Повторение и обобщение: представление данных с помощью графа
Цели и задачи
- Цель : за 45 минут проверить и систематизировать умение представлять объекты и связи между ними с помощью графа, читать граф и решать практические задачи трёх уровней сложности, набрав не менее 60% от максимально возможного количества баллов.
- Закрепить понятия «вершина», «ребро», «степень вершины», «маршрут», «цепь» и «цикл», необходимые для работы с графами.
- Научиться строить граф по словесному описанию отношений между объектами и извлекать из графа информацию.
- Развивать умение выбирать способ решения, проверять результат по условию и объяснять ход рассуждений.
- Формировать ответственное отношение к самостоятельной работе и корректному представлению данных в учебных и жизненных ситуациях.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к использованию графов для описания реальных сетей и связей.
- Осознают значение точности и проверки данных при принятии решений.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания и способа оформления решения.
- Принимают необходимость корректно аргументировать ответ и уважительно относиться к решениям одноклассников.
Метапредметные
- Читают условие задачи, выделяют объекты и связи между ними, преобразуют текстовую информацию в графическую модель.
- Планируют последовательность выполнения контрольных заданий и распределяют время.
- Сравнивают построенный граф с условием, находят ошибки и вносят коррекцию.
- Используют математическую речь для краткого объяснения построения и сделанных выводов.
- Оценивают собственный результат по критериям и формулируют, какой способ требует дополнительной тренировки.
Предметные
- Знать определения вершины, ребра, степени вершины, маршрута, цепи и цикла.
- Уметь строить граф по таблице или словесному описанию связей между объектами.
- Уметь определять число вершин и рёбер, степени вершин, наличие маршрута, цепи или цикла.
- Уметь читать граф и отвечать на вопросы о связях между его вершинами.
- Уметь применять графы для представления данных в практических ситуациях.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу: проверить, насколько уверенно умеют читать и строить графы.
- Проявляют готовность к самостоятельному выполнению контрольной работы без подсказок.
- Осознают связь математической модели графа с транспортными, информационными и социальными сетями.
- Сохраняют доброжелательное отношение к одноклассникам при взаимном обсуждении способов решения после контроля.
Регулятивные УУД
- Принимают инструкцию к контрольной работе и планируют время на задания разных уровней.
- Самостоятельно контролируют правильность чтения условия и соответствие графа исходным данным.
- Используют самопроверку по эталону, не исправляя работу до фиксации первоначального ответа.
- Оценивают результат по критериям и определяют конкретный шаг для коррекции знаний.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные объекты и отношения в тексте задачи.
- Строят знаково-символическую модель ситуации в виде графа.
- Сравнивают разные графы, устанавливают число и характер связей.
- Используют анализ, классификацию и обобщение при решении заданий повышенной сложности.
- Проверяют выводы с помощью подсчёта степеней вершин и рёбер.
Коммуникативные УУД
- Точно формулируют краткий письменный ответ и обозначают используемые вершины и рёбра.
- После завершения контроля объясняют партнёру способ решения без передачи готового ответа.
- Задают уточняющие вопросы о критериях проверки и корректно воспринимают замечания.
- Согласовывают общий вывод о типичных ошибках класса.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить два варианта контрольных карточек с одинаковой структурой и разными исходными данными: обязательный базовый блок, практический блок и задание повышенной сложности.
- Распечатать карточки по одной на каждого ученика и 3–4 резервных экземпляра; отдельно подготовить листы для черновика.
- Подготовить индивидуальные листы самооценки с пунктами «строю граф», «нахожу степени вершин», «читаю маршрут», «проверяю ответ».
- Вывести на доску или экран только памятку с обозначениями: вершина — точка, ребро — линия, степень вершины — число рёбер, выходящих из вершины.
- Подготовить эталон решения для учителя: граф по таблице связей, подсчёт степеней вершин и проверка существования маршрута.
- Разложить на партах линейки, простые карандаши и ластики; цветные карандаши предложить для выделения вершин и рёбер.
- Подготовить таймер на 12 минут для самостоятельной работы и сигнал за 2 минуты до окончания.
- Открыть в учебнике раздел по графам, чтобы при инструктаже ученики могли обратиться к определениям и разобранным способам построения, но во время контроля не использовать готовые ответы.
- Подготовить карточки трёх уровней сложности для тех, кто завершит обязательную часть раньше: базовый, повышающий и дополнительный.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и инструктаж к контролю (4 мин)
Цель этапа: организовать самостоятельную работу, сообщить критерии и снять неясность в инструкции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Сегодня мы не изучаем новое правило, а проверяем, насколько уверенно вы умеете представлять данные с помощью графа. На парте должны быть тетрадь, ручка, простой карандаш, линейка и ластик. Уберите телефоны и лишние материалы, оставьте только то, что разрешено инструкцией." | Готовят рабочее место, убирают лишние предметы, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает на доске памятку: "Напомню обозначения. Вершины графа изображаем точками или кругами, рёбра — линиями между связанными вершинами. Степень вершины — количество рёбер, которые к ней подходят. Читайте условие полностью, сначала выделяйте объекты, затем связи. Если построили граф, пересчитайте вершины и рёбра." | Читают памятку, задают уточняющие вопросы о формате записи ответа, называют: "Вершина — объект, ребро — связь между объектами". |
1 мин | Учитель раздаёт варианты: "Работа состоит из трёх частей. Сначала выполните обязательные задания, затем выберите повышенное или дополнительное задание, если останется время. Можно пользоваться только собственными записями, если это предусмотрено вашим вариантом; ответы соседа и готовые решения не используются. За каждое задание записывайте не только число, но и обозначения, по которым понятен ваш способ." | Получают вариант, проверяют наличие всех заданий, ставят подпись и слушают инструкцию по времени. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Инструкция понятна, рабочие места готовы. Сейчас мы быстро вспомним ключевые способы работы, а затем перейдём к самостоятельной проверке. Ваша задача — показать не скорость, а точность модели и рассуждений."
Этап 2. Актуализация понятий и пробное задание (5 мин)
Цель этапа: восстановить опорные понятия и предупредить типичные ошибки перед контрольной работой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём "Быстрый опрос": "Покажите большим пальцем вверх, если можете объяснить термин, и в сторону, если нужно ещё раз посмотреть в тетрадь. Что называют вершиной? Что показывает ребро? Как найти степень вершины? Чем маршрут отличается от просто набора вершин?" Учитель выслушивает 2–3 кратких ответа и уточняет формулировки. | Поднимают сигналы, отвечают: "Вершина изображает объект", "Ребро показывает связь", "Степень равна числу рёбер у вершины", "Маршрут проходит по связанным вершинам и рёбрам". |
3 мин | Учитель записывает на доске мини-ситуацию: "Есть четыре пункта A, B, C и D. Дороги соединяют A с B, B с C, C с D и A с D. Какой граф нужно построить? Сколько у него вершин и рёбер? Какова степень каждой вершины?" Учитель предлагает сначала подумать 30 секунд, затем сверить ответ с соседом, но не оценивает его как контрольный. | Строят в черновике граф, называют 4 вершины и 4 ребра, определяют степень каждой вершины как 2, формулируют: "Из A в C можно пройти через B или через D". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили алгоритм: объект — вершина, связь — ребро, затем проверяем степени и маршруты. В контрольной работе не пропускайте именно эту проверку: она помогает обнаружить лишнее или потерянное ребро."
Этап 3. Самостоятельная контрольная работа: базовый уровень (12 мин)
Цель этапа: проверить воспроизведение понятий и умение читать простой граф.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель даёт инструкцию: "Начинаем с первой части. В задании 1 соотнесите термины с определениями. В задании 2 рассмотрите предложенный граф и запишите число вершин, число рёбер и степени указанных вершин. Не переписывайте условие полностью, но обозначайте вершины так, чтобы ответ можно было проверить." | Читают задания 1–2, подчёркивают ключевые слова, самостоятельно записывают определения и числовые характеристики графа. |
8 мин | Учитель контролирует тишину и темп: "Работайте индивидуально. Если не уверены в формулировке, вернитесь к смыслу понятия: что изображает точка, что изображает соединяющая её линия? Я не сообщаю готовый ответ, но могу повторить инструкцию к заданию." | Выполняют задания своего варианта: соотносят термины и определения, считают вершины и рёбра, находят степени вершин, записывают ответы с обозначениями. |
2 мин | Учитель предупреждает: "Осталось две минуты. Проверьте, на все ли подпункты есть ответ, не перепутали ли вы количество вершин с количеством рёбер. Если граф дан рисунком, ведите карандашом от каждой вершины и пересчитывайте связи." | Пересчитывают элементы графа, дополняют пропущенные ответы, ставят отметку рядом с выполненными пунктами. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Базовая часть завершена. Теперь применим знания к практической ситуации, где граф нужно не только прочитать, но и построить по данным. Переходите к следующему блоку, сохраняя аккуратность обозначений."
Этап 4. Самостоятельная контрольная работа: практический уровень (10 мин)
Цель этапа: проверить построение графа по словесному описанию и использование графа для анализа данных.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель напоминает алгоритм без разбора конкретного ответа: "В практическом задании сначала выпишите названия объектов. Затем по одному заносите связи в рисунок. После построения сравните каждую связь с условием и ответьте на вопросы о маршруте. Если вам удобнее, разместите вершины не по кругу, а в виде схемы — расположение не влияет на правильность графа." | Читают условие, выписывают объекты и намечают расположение вершин на черновике. |
6 мин | Учитель наблюдает за работой: "Проверьте, что одна и та же связь не изображена дважды. Если в условии сказано, что объекты соединены, между соответствующими вершинами должно быть ребро. Если связь не указана, добавлять её нельзя. Ответ на вопрос о маршруте подтверждайте последовательностью вершин." | Строят граф по условию карточки, подсчитывают рёбра, находят маршрут или цикл, записывают последовательность вершин и кратко объясняют вывод. |
2 мин | Учитель сообщает: "Последние две минуты практической части посвятите проверке. Проведите пальцем по списку связей в условии и найдите каждую на рисунке. Затем посмотрите на рисунок и убедитесь, что каждая его линия есть в условии." | Сверяют граф с исходным списком связей, исправляют только очевидные ошибки, оформляют окончательный ответ. |
Эталон решения
Пример алгоритма проверки: 1) выписать все объекты и изобразить их вершинами; 2) провести ребро для каждой указанной пары объектов; 3) пересчитать рёбра; 4) для каждой вершины пересчитать примыкающие рёбра; 5) маршрут записать последовательностью вершин, например A–B–D–C; 6) проверить, что каждая соседняя пара в этой последовательности соединена ребром графа.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Практическая часть проверяет, умеете ли вы превращать текстовые данные в модель. Осталось задание по выбору: оно позволит проявить более высокий уровень анализа, но сначала убедитесь, что обязательная часть оформлена полностью."
Этап 5. Задание повышенной сложности и выбор уровня (7 мин)
Цель этапа: предоставить возможность применить анализ и обоснование на материале графа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает выбор: "Выберите одно из двух заданий. В первом нужно определить, можно ли пройти по всем рёбрам без повторения, и обосновать ответ степенями вершин. Во втором нужно изменить один элемент графа так, чтобы появился маршрут между указанными вершинами, и объяснить изменение. Выбирайте задание, которое позволит показать именно ваши сильные стороны." | Читают два варианта, отмечают выбранное задание, планируют способ решения. |
5 мин | Учитель напоминает критерий доказательства: "Одного ответа «да» или «нет» недостаточно. Запишите, какие вершины и рёбра вы анализировали. Если ссылаетесь на степень вершины, укажите её значение. Если меняете граф, назовите добавленное или удалённое ребро и объясните, как изменился маршрут." | Решают выбранное задание, строят дополнительную схему при необходимости, записывают обоснование полными математическими фразами. |
1 мин | Учитель предупреждает: "Завершайте запись. Проверьте, что выбранный уровень указан на листе, а решение можно прочитать. Те, кто не закончил дополнительное задание, сдают его в текущем виде вместе с обязательной частью." | Указывают выбранный уровень, перечитывают обоснование, сдают контрольную работу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Контрольные листы собраны. Сейчас мы не будем сравнивать оценки вслух, а зафиксируем, какие способы оказались удобными и где возникли затруднения. Это поможет точнее спланировать коррекцию."
Этап 6. Первичная саморефлексия и коррекция (7 мин)
Цель этапа: организовать осмысление выполненной работы без раскрытия правильных ответов до проверки учителем.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт лист самооценки: "Отметьте только то, что действительно можете выполнить самостоятельно: построить граф по тексту, найти степень вершины, определить маршрут, проверить число рёбер. Рядом с каждым пунктом напишите одно слово: «уверенно», «сомневаюсь» или «нужна тренировка»." | Заполняют лист самооценки, соотносят каждый пункт с выполненной сегодня работой, выделяют одно затруднение. |
2 мин | Учитель проводит приём "Светофор": "Поднимите зелёную карточку, если готовы самостоятельно решать аналогичную задачу; жёлтую, если нужен пример или подсказка; красную, если пока не понимаете алгоритм построения. Цвет не является оценкой, он нужен мне для планирования следующего урока." | Поднимают карточку выбранного цвета, при необходимости кратко объясняют: "Сложно определить маршрут" или "Трудно не потерять связь при построении". |
2 мин | Учитель просит сформулировать индивидуальный шаг: "Запишите одну конкретную рекомендацию себе: например, «сначала выписывать все вершины» или «пересчитывать степень каждой вершины». Не пишите общую фразу «повторить тему» — укажите действие." | Записывают конкретную рекомендацию и сдают лист самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы проверили не только знание терминов, но и умение строить математическую модель. На следующем уроке мы разберём типичные ошибки по вашим работам и потренируем именно те операции, которые вызвали затруднения."
Этап 7. Подведение итогов и домашнее задание (0 мин)
Цель этапа: зафиксировать дальнейшую работу и сообщить задание после сбора контрольных материалов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
0 мин | Учитель сообщает домашнее задание после звонка или размещает его в электронном дневнике: "Домашняя работа дифференцированная. Выберите уровень по результату самооценки: обязательный выполняют все, повышающий — те, кто уверенно справился с базовым, дополнительный — по желанию. Перед следующим уроком проверьте себя по контрольным вопросам." | Фиксируют выбранный уровень и содержание задания, задают вопросы о формате оформления. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все базовые задания, граф по практической ситуации построен без лишних и пропущенных рёбер, степени вершин и маршрут определены правильно, решение задания повышенной сложности обосновано.
- «4» — верно выполнена основная часть заданий, допущена одна неточность в подсчёте или оформлении, но способ построения графа и чтения данных в целом правильный.
- «3» — выполнены не менее 60% обязательных заданий, правильно определены основные понятия или часть элементов графа, однако есть ошибки при построении, подсчёте степеней или описании маршрута.
- Результат ниже отметки «3» означает необходимость индивидуальной коррекции: повторить обозначения графа, алгоритм построения по списку связей и проверку степени вершины.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое действие при построении графа вы выполняли уверенно? | Выявление освоенного элемента алгоритма и фиксация личного успеха. |
На каком шаге возникло наибольшее затруднение: выделение объектов, проведение рёбер, подсчёт степеней или поиск маршрута? | Определение конкретной точки затруднения для последующей коррекции. |
Как вы проверяли, что построенный граф соответствует условию? | Выяснение сформированности навыка самоконтроля и обратной проверки модели. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Формирование осознанного выбора сложности и адекватной самооценки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы проверили, как граф помогает представить данные о связях между объектами. Важно помнить: самая частая ошибка возникает не при рисовании, а при пропуске одной связи или добавлении связи, которой не было в условии. Поэтому всегда сначала выписывайте объекты и отношения, а затем дважды сверяйте рисунок с текстом. На следующем уроке мы разберём результаты и потренируем задания, в которых требуется обосновывать существование маршрута. Используйте самооценку как рабочую подсказку, а не как окончательный вердикт."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 3 задания на чтение готового графа: определить число вершин и рёбер, найти степени указанных вершин и записать один маршрут между двумя заданными вершинами. | Закрепляет основные понятия; при проверке обратить внимание на точность подсчёта и запись последовательности вершин. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на построение графа по таблице или словесному описанию связей, после каждого графа выписать число вершин, рёбер и один возможный маршрут. | Формирует переход от текста к модели; при проверке смотреть, чтобы не было лишних или пропущенных рёбер. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную практическую задачу о маршрутах или связях между объектами, построить граф с 5–6 вершинами, задать два вопроса к нему и привести решения. | Развивает создание и анализ математической модели; при проверке оценить полноту условия, корректность графа и обоснованность ответов. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что изображает вершина? Что изображает ребро? Как найти степень вершины? Как проверить граф, построенный по тексту? Как записать маршрут в графе?»
