Числовые наборы. Среднее арифметическое и медиана
Цели и задачи
- Цель: научиться вычислять среднее арифметическое и находить медиану числового набора, понимать их статистический смысл и различия.
- Образовательная задача: сформировать алгоритм нахождения медианы для наборов с четным и нечетным количеством элементов.
- Развивающая задача: развивать навыки анализа данных и критического мышления при выборе меры центральной тенденции.
- Воспитательная задача: воспитывать культуру работы с информацией и ответственное отношение к интерпретации статистических данных.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к обучению и готовности к саморазвитию.
- Развитие осознанного отношения к использованию математических знаний в реальных жизненных ситуациях.
- Умение ясно и грамотно излагать свои мысли, выстраивать аргументацию.
Метапредметные
- Познавательные: умение выделять существенные характеристики объектов, сравнивать и классифицировать.
- Регулятивные: способность ставить учебные цели, планировать действия и оценивать результат.
- Коммуникативные: умение работать в группе, слушать собеседника и обосновывать свою точку зрения.
Предметные
- Знать определения числового набора, среднего арифметического и медианы.
- Уметь вычислять среднее арифметическое набора чисел.
- Уметь находить медиану как для упорядоченного, так и для неупорядоченного набора данных.
- Понимать различие между средним арифметическим и медианой в контексте выбросов в данных.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: установление связи между целью учебной деятельности и ее мотивом.
- Самоопределение: развитие навыков самоорганизации.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Самоконтроль: сличение способа действия и его результата с заданным эталоном.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков.
- Построение логической цепи рассуждений.
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач.
Коммуникативные УУД
- Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для проверочной работы (по количеству учеников).
- Подготовить презентацию с визуализацией алгоритма поиска медианы.
- Подготовить раздаточный материал с кейсом «Зарплаты в компании» для этапа мотивации.
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
- Подготовить листы самооценки для этапа рефлексии.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать условия для возникновения внутренней потребности включения в учебную деятельность через проблемную ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель: "Здравствуйте! Представьте, что вы устраиваетесь на работу в небольшое кафе. Владелец говорит: 'Средняя зарплата у нас 80 тысяч рублей'. Вы радуетесь, но потом узнаете, что четверо официантов получают по 20 тысяч, а сам владелец — 320 тысяч. Давайте посчитаем среднее: (20+20+20+20+320)/5 = 80. Формально он прав? Но отражает ли это число реальность для большинства сотрудников? Сегодня мы узнаем, какие еще показатели помогают описать данные честнее." | Ученики слушают ситуацию, выражают удивление. Отвечают на вопрос: "Формально прав, но это нечестно, так как большинство получает гораздо меньше". Записывают дату в тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что среднее значение может нас обмануть. Чтобы разобраться в этом, нам нужно изучить новые характеристики числовых наборов."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить понятие среднего арифметического и зафиксировать затруднение в его использовании.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель: "Давайте вспомним, что такое среднее арифметическое. Запишите в тетрадях набор чисел, обозначающих ваши последние пять оценок по математике. Найдите их среднее. Кто готов поделиться результатом?" Учитель записывает на доске формулу: $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$. Затем спрашивает: "А если в ваш набор добавить одну двойку или одну пятерку, как сильно изменится среднее? Проверьте." | Ученики выписывают свои оценки, складывают их и делят на количество. Отвечают: "Среднее арифметическое — это сумма всех чисел, деленная на их количество". Проводят эксперимент с добавлением оценки и замечают, что среднее заметно меняется. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как считать среднее. Но заметили, что одно крайнее значение — 'выброс' — сильно его меняет. Как же найти показатель, который будет более устойчивым?"
Этап 3. Выявление места и причины затруднения (2 мин)
Цель этапа: сформулировать проблему: среднее арифметическое не всегда является типичным представителем набора.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель задает вопрос: "Почему в примере с кафе среднее значение 80 тысяч нас не устроило? В чем причина затруднения при описании этого набора данных?" | Ученики отвечают: "Потому что одно число слишком большое, оно перетягивает среднее на себя. Нам нужно найти число, которое стоит ровно посередине списка зарплат, чтобы понять, сколько получает обычный работник". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Верно. Нам не хватает показателя 'середины'. Этот показатель в статистике называется медианой."
Этап 4. Построение проекта выхода из затруднения (2 мин)
Цель этапа: поставить цели урока и наметить план действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель: "Какова цель нашего урока? Какой план мы составим, чтобы научиться находить медиану?" Учитель фиксирует на доске пункты плана: 1. Узнать определение медианы. 2. Вывести алгоритм ее поиска. 3. Понять, что делать, если чисел в наборе четное количество. | Ученики формулируют цель: "Узнать, что такое медиана и как ее находить". Записывают план в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "План готов. Приступаем к открытию нового знания."
Этап 5. Реализация проекта (12 мин)
Цель этапа: ввести понятие медианы и разработать алгоритм ее нахождения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель: "Вернемся к зарплатам: 20, 20, 20, 20, 320. Они уже стоят по порядку. Какое число находится ровно посередине?" Учитель вводит определение: "Медиана упорядоченного набора с нечетным числом элементов — это число, стоящее посередине". А теперь ситуация: в кафе наняли еще одного человека с зарплатой 30 тысяч. Набор стал: 20, 20, 20, 30, 20, 320. Учитель спрашивает: "Что нужно сделать первым делом?" | Ученики отвечают: "Посередине стоит 20". Записывают определение медианы. Для нового набора предлагают: "Сначала надо расставить числа по порядку: 20, 20, 20, 20, 30, 320". Замечают, что теперь посередине два числа. |
6 мин | Учитель объясняет: "Если в наборе четное количество чисел, медиана — это среднее арифметическое двух чисел, стоящих посередине. В нашем случае это (20+20)/2 = 20. Давайте запишем алгоритм: 1. Упорядочить набор (по возрастанию). 2. Если количество чисел $n$ нечетное, медиана — это число на позиции $(n+1)/2$. 3. Если $n$ четное, медиана — полусумма двух средних чисел". | Ученики записывают алгоритм и примеры в тетрадь. Отрабатывают случай с четным количеством на примере набора: 2, 5, 8, 12. Находят медиану: (5+8)/2 = 6,5. |
Запись в тетрадях
Медиана — это число, которое разделяет упорядоченный набор на две равные по численности части.
Алгоритм:
1. Ранжирование (сортировка).
2. Поиск центрального элемента (или двух).
Алгоритм:
1. Ранжирование (сортировка).
2. Поиск центрального элемента (или двух).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь мы вооружены алгоритмом. Давайте проверим, как он работает на практике."
Этап 6. Первичное закрепление (5 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм нахождения медианы через совместное решение задач с проговариванием.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель предлагает задание на доске: "Найдите медиану набора температур за неделю: 15, 18, 14, 20, 15, 21, 19. Работаем по цепочке: первый шаг — сортировка, второй — поиск центра". Затем дает второй набор: 10, 12, 8, 15. | Ученики по очереди диктуют: "Сначала упорядочим: 14, 15, 15, 18, 19, 20, 21. Всего 7 чисел, среднее — четвертое по счету. Медиана равна 18". Для второго набора: "Упорядочим: 8, 10, 12, 15. Четное количество, берем 10 и 12. (10+12)/2 = 11". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, алгоритм усвоен. Пора проверить себя индивидуально."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: провести первичную диагностику усвоения материала через небольшую проверочную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | Учитель раздает карточки с проверочной работой. Задания: 1. Найти среднее арифметическое набора: 4, 7, 9. 2. Найти медиану набора: 12, 5, 8, 15, 3. 3. Найти медиану набора: 1, 10, 5, 4. 4. Дополнительно: Придумайте набор из 5 чисел, где среднее арифметическое равно 10, а медиана равна 5. | Ученики самостоятельно выполняют задания в тетрадях. Сосредоточенно работают, применяя изученные алгоритмы. |
3 мин | Учитель выводит эталон ответов на экран: "Сверьте свои результаты. Если все верно — поставьте себе '+'. Если есть ошибка — обведите ее и исправьте". | Ученики проводят самопроверку, задают уточняющие вопросы по решению. |
Эталон решения
1. (4+7+9)/3 = 6.67.
2. Сортировка: 3, 5, 8, 12, 15. Медиана = 8.
3. Сортировка: 1, 4, 5, 10. Медиана = (4+5)/2 = 4.5.
4. Возможный набор: 2, 5, 5, 10, 28 (Сумма 50, среднее 10, медиана 5).
2. Сортировка: 3, 5, 8, 12, 15. Медиана = 8.
3. Сортировка: 1, 4, 5, 10. Медиана = (4+5)/2 = 4.5.
4. Возможный набор: 2, 5, 5, 10, 28 (Сумма 50, среднее 10, медиана 5).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Большинство справилось с базовыми задачами. Это значит, мы готовы двигаться дальше."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: оценить собственную деятельность на уроке и зафиксировать домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель организует рефлексию с помощью приема 'Светофор': 'Зеленый — я все понял и могу объяснить другому, Желтый — я понял, но есть вопросы, Красный — мне было трудно'. Затем диктует домашнее задание. | Ученики поднимают карточки соответствующего цвета. Записывают домашнее задание. Формулируют, что нового узнали. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все 3 основные задачи и дополнительное задание, записи аккуратны, алгоритмы соблюдены.
- "4" — верно выполнены 3 основные задачи, допущена одна вычислительная ошибка при нахождении среднего или медианы четного набора.
- "3" — верно выполнены 2 задачи, или ученик нашел медиану без предварительного упорядочивания набора.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
В какой ситуации медиана лучше описывает набор, чем среднее арифметическое? | Проверка понимания статистического смысла показателей. |
Что было самым сложным: расчеты или алгоритм поиска? | Выявление индивидуальных затруднений ученика. |
Как изменится медиана, если увеличить самое большое число в наборе? | Проверка понимания устойчивости медианы к выбросам. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы сделали важный шаг в изучении статистики. Мы узнали, что мир данных не ограничивается простым средним. Медиана — это честный судья, который не смотрит на крайности, а видит самую суть середины. На следующем уроке мы познакомимся с еще одной характеристикой — модой, и научимся выбирать лучшего 'представителя' для любых данных. Спасибо за активную работу!"
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Найти среднее арифметическое и медиану для 4 наборов чисел (по 5-6 элементов в каждом, включая неупорядоченные). | Закрепление базового алгоритма и навыка сортировки данных. |
Средний (повышающий) | Задача: 'В группе 6 человек. Рост пятерых: 160, 165, 170, 172, 175 см. Каким должен быть рост шестого, чтобы медиана стала 168 см?' | Развитие навыка обратного проектирования данных по заданному параметру. |
Продвинутый (дополнительный) | Мини-исследование: выписать цены на один и тот же товар (например, литр молока) в 7 разных магазинах города. Найти среднее и медиану. Сделать вывод. | Формирование функциональной грамотности и связи математики с реальной жизнью. |
Контрольные вопросы:
1. Нужно ли упорядочивать числа для нахождения среднего арифметического?
2. Может ли медиана быть числом, которого нет в самом наборе?
1. Нужно ли упорядочивать числа для нахождения среднего арифметического?
2. Может ли медиана быть числом, которого нет в самом наборе?
