Значения и их частоты
Цели и задачи
- Цель урока: к концу урока научиться составлять таблицу значений и их частот по предложенному набору данных, находить частоту конкретного значения и проверять, что сумма частот равна числу всех наблюдений.
- Сформировать понимание того, что значение признака — это наблюдаемый результат, а частота показывает, сколько раз это значение встречается в наборе данных.
- Научиться систематизировать данные в таблице и использовать частоты для ответа на вопросы практического содержания.
- Развивать умение анализировать данные, обнаруживать ошибки в таблицах и аргументированно объяснять способ решения.
- Воспитывать ответственное отношение к точности измерений и представлению статистической информации.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к применению статистики в повседневной жизни, спорте, медицине и будущей профессиональной деятельности.
- Понимают ценность точной фиксации и честного представления данных.
- Осознают личный вклад в совместную работу и принимают право одноклассников на иной способ рассуждения.
- Развивают учебную самостоятельность через выбор уровня задания и самооценку результата.
Метапредметные
- Извлекают информацию из набора числовых данных и преобразуют её в таблицу.
- Планируют последовательность подсчёта частот, проверяют результат и исправляют обнаруженные ошибки.
- Обсуждают решение в паре, задают уточняющие вопросы и аргументируют вывод.
- Используют математическую речь для описания значений, частот и общего числа наблюдений.
Предметные
- Знать определения понятий «значение признака» и «частота значения».
- Уметь выделять различные значения в наборе данных и подсчитывать, сколько раз встречается каждое из них.
- Уметь составлять таблицу значений и частот, находить неизвестную частоту по условию.
- Уметь проверять таблицу равенством суммы всех частот общему числу наблюдений.
- Уметь использовать таблицу частот для сравнения распространённости значений.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения статистики через связь с реальными данными.
- Проявляют познавательную инициативу при выдвижении способов подсчёта.
- Осознают необходимость аккуратности и объективности при работе с информацией.
- Оценивают собственную готовность применять новый способ действия.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы с таблицей частот и составляют план действий.
- Удерживают учебную задачу при подсчёте повторяющихся значений.
- Сверяют сумму частот с количеством всех наблюдений.
- Находят и исправляют ошибку в собственной или предложенной таблице.
- Оценивают результат по заданным критериям.
Познавательные УУД
- Классифицируют данные по одинаковым значениям.
- Выделяют существенную информацию и представляют её в табличной форме.
- Устанавливают связь между количеством наблюдений и суммой частот.
- Анализируют ошибочную таблицу и объясняют причину ошибки.
- Моделируют статистическую ситуацию с помощью таблицы.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре при подсчёте и взаимной проверке.
- Формулируют вопрос о способе решения и отвечают на вопросы партнёра.
- Приводят аргументы в пользу правильности таблицы.
- Согласуют общий вывод при расхождении результатов.
- Корректно дают обратную связь по критериям.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с наборами данных о количестве страниц, прочитанных за неделю: 5, 7, 5, 8, 6, 7, 5, 9, 6, 7.
- Распечатать карточки с наборами данных трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика и по одной карточке-эталону на парту.
- Подготовить цветные маркеры или магниты для выделения одинаковых значений на доске.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход по одному экземпляру на каждого ученика.
- Вывести на доску памятку: «1. Выпиши различные значения. 2. Посчитай повторения. 3. Составь таблицу. 4. Проверь сумму частот».
- Подготовить таблицу для совместного заполнения с двумя строками-заголовками: «Значение» и «Частота».
- Подготовить таймер на 3 минуты для работы в парах и на 5 минут для самостоятельной работы.
- Организовать раздаточный материал для трёх уровней сложности: обязательный, повышающий и дополнительный.
- Подготовить проектор или интерактивную доску для показа набора данных и образца таблицы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и показать практическую необходимость подсчёта частот.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске набор чисел: 5, 7, 5, 8, 6, 7, 5, 9, 6, 7. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем работать не с готовым выводом, а сами превратим неупорядоченные данные в понятную статистическую картину. Посмотрите на числа и представьте, что это количество страниц, прочитанных десятью учениками за неделю». | Записывают тему в тетради, рассматривают набор данных, определяют возможный жизненный смысл чисел. |
3 мин | Учитель применяет приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сначала за 30 секунд найдите самое часто встречающееся число. Затем обсудите с соседом, как доказать свой ответ, и назовите количество повторений». Учитель фиксирует на доске разные гипотезы. | Самостоятельно находят повторяющиеся числа, обсуждают способ подсчёта в паре, формулируют ответ: «Число 5 встречается 3 раза, а числа 7 — 3 раза; они встречаются чаще остальных». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что просто перечислить данные недостаточно: нужно точно показать, какие значения встречаются и сколько раз. Сейчас выясним, как оформить такую информацию кратко и без ошибок».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать представления о данных, признаке, подсчёте и проверке результата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель задаёт вопросы и показывает на доске набор: 2, 3, 2, 4, 3, 2. «Что здесь является наблюдаемым признаком? Какие числа являются различными значениями? Сколько всего наблюдений выполнено?» | Отвечают: «Признак — число, полученное при наблюдении; значения — 2, 3 и 4; всего 6 наблюдений». Записывают ответы кратко. |
3 мин | Учитель предлагает устный подсчёт: «Посчитайте, сколько раз встречается каждое значение. Как можно проверить, что мы никого не забыли? Почему сумма найденных количеств должна быть равна числу наблюдений?» Учитель подводит учеников к формулировке правила. | Называют частоты: для 2 — 3, для 3 — 2, для 4 — 1. Формулируют: «Сумма частот должна быть равна общему числу наблюдений, то есть 6». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что данные состоят из наблюдений, каждое наблюдение имеет значение, а повторения можно пересчитать. Теперь поставим вопрос: как записать весь результат так, чтобы его можно было быстро прочитать и проверить?»
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать способ представления данных.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает две записи одного набора: «5, 7, 5, 8, 6, 7, 5, 9, 6, 7» и «5 — 3 раза; 6 — 2 раза; 7 — 3 раза; 8 — 1 раз; 9 — 1 раз». «Какая запись удобнее, если нужно сравнить результаты? Что в первой записи приходится делать каждый раз заново?» | Сравнивают записи и отвечают: «Вторая запись удобнее; в первой нужно снова пересчитывать одинаковые числа». |
2 мин | Учитель организует приём «Снежный ком»: «Сначала каждый запишите, чему нужно научиться. Затем объединитесь в пары, выберите общую формулировку и представьте её классу». Учитель уточняет цель: «Нам нужно научиться составлять таблицу значений и их частот и проверять её». | Формулируют индивидуальные и парные цели: «Научиться группировать одинаковые значения, считать их повторения и записывать в таблицу». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение мы определили: нужно не просто увидеть повторы, а представить их в едином порядке. Сформулированная цель станет нашим планом работы при открытии нового способа».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и зафиксировать понятия значения, частоты и таблицы значений и частот.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выделяет одинаковые числа цветными маркерами в наборе 5, 7, 5, 8, 6, 7, 5, 9, 6, 7. «Посмотрите, как мы группируем одинаковые результаты. Число 5 является значением признака, а число его повторений — частотой этого значения. Повторим: что показывает частота?» | Выделяют одинаковые числа, отвечают: «Частота показывает, сколько раз данное значение встретилось в наборе данных». |
4 мин | Учитель заполняет на доске таблицу. «В первой строке запишем различные значения в порядке возрастания, во второй — соответствующие частоты. Проверяем каждую частоту повторным пересчётом». На доске появляется: значение: 5, 6, 7, 8, 9; частота: 3, 2, 3, 1, 1. | Переносят таблицу в тетрадь, сверяют подсчёт, проговаривают: «Для 5 частота 3, для 6 — 2, для 7 — 3, для 8 — 1, для 9 — 1». |
3 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: «Как проверить таблицу целиком? Сложим частоты: $3+2+3+1+1=10$. Почему получилось 10? Что это число означает?» Учитель формулирует правило и просит учеников повторить его своими словами. | Вычисляют сумму частот и отвечают: «10 — это общее количество наблюдений. Сумма всех частот равна числу всех данных». Записывают правило. |
Запись в тетрадях
Записать: «Значение признака — результат отдельного наблюдения. Частота значения — количество появлений этого значения в наборе данных. Таблица значений и частот показывает различные значения признака и соответствующие им частоты. Проверка: сумма частот равна числу всех наблюдений».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли способ перехода от набора данных к таблице. Главное — не потерять ни одно значение и обязательно проверить сумму частот. Теперь применим этот способ сначала вместе, проговаривая каждый шаг».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм составления таблицы значений и частот в парной работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с данными о числе сообщений, отправленных за день: 2, 4, 3, 2, 5, 4, 2, 3, 4, 1. «Работаем по памятке. Один партнёр выделяет одинаковые значения, второй ведёт подсчёт, затем вы меняетесь ролями. На выполнение — две минуты». | Распределяют роли, группируют одинаковые числа и подсчитывают частоты. |
3 мин | Учитель просит пары заполнить таблицу и напоминает: «Запишите различные значения по возрастанию. Не перепутайте значение с частотой: значение — это число сообщений, частота — сколько дней оно встречалось». | Составляют таблицу: значения 1, 2, 3, 4, 5; частоты 1, 3, 2, 3, 1. |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку: «Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте три пункта: все ли значения указаны, правильно ли посчитаны частоты, равна ли сумма частот 10. Поставьте две звезды и одно пожелание». | Проверяют таблицу соседней пары, находят сумму $1+3+2+3+1=10$, записывают две сильные стороны и один совет. |
Эталон решения
1. Выписать различные значения: 1, 2, 3, 4, 5. 2. Подсчитать повторения: 1 встречается 1 раз, 2 — 3 раза, 3 — 2 раза, 4 — 3 раза, 5 — 1 раз. 3. Записать таблицу значений и частот. 4. Проверить: $1+3+2+3+1=10$, что совпадает с числом наблюдений.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы составили таблицу совместно и проверили её по алгоритму. Теперь каждый покажет, умеет ли самостоятельно выбрать порядок действий и обнаружить возможную ошибку».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение составлять таблицу частот и применять её для анализа данных.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. «Выберите уровень, который соответствует вашей готовности. Обязательный вариант выполняют все, повышающий можно выбрать при уверенной работе, дополнительный — для тех, кто хочет проверить себя сложнее. Для набора 1, 2, 2, 3, 1, 4, 2, 3, 1 составьте таблицу и ответьте, какое значение наиболее частотно». | Индивидуально составляют таблицу. Для базового варианта получают частоты 1 — 3, 2 — 3, 3 — 2, 4 — 1 и делают вывод: значения 1 и 2 наиболее частотны. |
3 мин | Учитель выводит эталон на доску: «Сверьте не только ответ, но и способ. Если есть ошибка, зачеркните неверную строку, рядом запишите исправление и объясните причину». Учитель проводит краткую адресную помощь. | Сверяют таблицы с эталоном, исправляют ошибки, отмечают в листе самооценки пункты «выделил значения», «нашёл частоты», «проверил сумму». |
Эталон решения
Различные значения: 1, 2, 3, 4. Частоты: для 1 — 3, для 2 — 3, для 3 — 2, для 4 — 1. Проверка: $3+3+2+1=9$. Наибольшая частота равна 3, поэтому наиболее частотны значения 1 и 2.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что таблица строится по одному алгоритму независимо от содержания данных. Осталось проверить, что каждый понял смысл частоты и сможет объяснить результат своими словами».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осмыслить новый способ действия, выявить затруднения и определить домашнюю практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт билет на выход: «Ответьте письменно на два вопроса: что называют частотой значения и как проверить таблицу частот? Приведите короткий пример для набора 2, 2, 3». | Пишут: «Частота — число повторений значения; сумма частот должна равняться числу наблюдений». Для примера указывают: 2 — частота 2, 3 — частота 1. |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: «Покажите зелёную карточку, если умеете составлять таблицу без помощи, жёлтую — если нужна тренировка, красную — если пока не понимаете, как считать частоты. Одним предложением объясните свой выбор». | Поднимают карточки, формулируют самооценку: «Мне легко находить частоты, но нужно внимательнее проверять сумму». |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и задаёт контрольные вопросы: «Перед выходом назовите два обязательных шага алгоритма. Чем значение отличается от частоты?» | Отвечают: «Сначала выделить различные значения, затем подсчитать повторения; значение — результат наблюдения, частота — количество его повторений». Записывают домашнее задание. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выделены все различные значения, без ошибок найдены частоты, составлена таблица, выполнена проверка суммы частот и дан корректный вывод о наиболее частотном значении.
- «4» — таблица в целом составлена верно, но допущена одна неточность в оформлении или объяснении при правильно найденных частотах.
- «3» — выделены основные значения, но допущены ошибки в подсчёте одной-двух частот либо отсутствует проверка суммы; ученик исправляет ошибки после подсказки.
- Ниже базового уровня — значения и частоты существенно перепутаны, сумма частот не проверена, решение требует повторной работы по памятке.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что называют частотой значения? | Проверка осознания ключевого определения урока. |
Какими шагами вы составляли таблицу частот? | Выявление понимания алгоритма действия. |
Как вы проверяли правильность таблицы? | Проверка освоения контроля результата через сумму частот. |
Какое действие оказалось самым трудным и почему? | Выявление индивидуальных точек затруднения для последующей коррекции. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились превращать неупорядоченный набор данных в таблицу значений и их частот. Запомните главное различие: значение показывает, какой результат получен, а частота — сколько раз он встретился. Типичная ошибка — записать частоту вместо значения или забыть проверить сумму частот. На следующем уроке мы продолжим анализировать статистические данные и увидим, как таблицы помогают делать обоснованные выводы».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Составить таблицы значений и частот для двух наборов по 8–10 числовых данных, например результатов бросков кубика или числа страниц, прочитанных за неделю. Для каждой таблицы проверить сумму частот. | Закрепляет алгоритм группировки данных и подсчёта частот; при проверке обратить внимание на полноту набора значений и равенство суммы частот числу наблюдений. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на восстановление пропущенной частоты в таблице, если известно общее число наблюдений, и определить наиболее частотное значение. | Формирует умение использовать связь суммы частот с числом наблюдений; при проверке смотреть на вычисление неизвестной частоты и обоснование вывода. |
Продвинутый (дополнительный) | Провести мини-исследование: опросить 10–15 человек о выбранном числовом признаке, составить таблицу значений и частот и написать 2–3 вывода о распределении данных. | Развивает функциональную и исследовательскую грамотность; при проверке оценить корректность сбора данных, таблицы, проверки суммы и содержательность выводов. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что такое значение признака? Что такое частота? Чему должна быть равна сумма всех частот? Как определить наиболее частотное значение по таблице?»
