Применение графиков для описания зависимостей величин и представления данных
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться строить и читать графики зависимостей величин по таблице данных, описывать по графику характер изменения величин и делать выводы о реальной ситуации.
- Познакомить учащихся с алгоритмом построения графика по таблице значений и правилами выбора масштаба на координатной плоскости.
- Научить определять по графику промежутки возрастания, убывания и постоянства величины, а также находить значения величин по заданным координатам.
- Развивать умение анализировать данные, аргументировать выводы и проверять достоверность графического представления информации.
- Формировать ответственное отношение к представлению данных и понимание роли графиков в математике, естественных науках, экономике и повседневной жизни.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к использованию графиков для анализа реальных процессов.
- Осознают значение точного и честного представления данных в учебной и профессиональной деятельности.
- Принимают возможность выбора уровня задания и формата представления собственного вывода.
- Развивают готовность уважительно обсуждать разные способы решения и аргументировать собственную позицию.
Метапредметные
- Извлекают информацию из таблицы и графика, сопоставляют разные способы представления одних и тех же данных.
- Планируют построение графика, выбирают подходящий масштаб и контролируют правильность нанесения точек.
- Формулируют выводы по данным, используют математическую речь и приводят доказательства.
- Работают в паре, распределяют роли, задают уточняющие вопросы и оценивают достоверность результата.
Предметные
- Знать назначение координатных осей, координат точки, масштаба и графика зависимости величин.
- Уметь строить график по таблице значений с указанием названий величин и единиц измерения.
- Уметь читать график: находить значения величин, определять промежутки роста, снижения и постоянства.
- Владеть алгоритмом проверки графика по исходной таблице и уметь описывать зависимость величин словами.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в совместную работу по построению и анализу графика.
- Соотносят изучаемый материал с интересами к профессиям, связанным с данными, инженерией, медициной и экономикой.
- Осознают необходимость аккуратности и объективности при работе с числовой информацией.
- Оценивают собственную уверенность в чтении и построении графиков.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемной ситуации.
- Планируют последовательность построения графика и распределяют время выполнения задания.
- Осуществляют самопроверку по чек-листу: оси, единицы, масштаб, точки, подписи, вывод.
- Находят и исправляют ошибки в масштабе, координатах и словесном описании зависимости.
Познавательные УУД
- Преобразуют таблицу данных в графическое представление.
- Сравнивают участки графика и устанавливают связь между направлением изменения графика и изменением величины.
- Выделяют существенную информацию, моделируют реальную ситуацию на координатной плоскости.
- Анализируют и оценивают, не искажает ли выбранный масштаб смысл исходных данных.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: построитель, проверяющий, докладчик.
- Формулируют вопросы к графику и дают точные ответы с опорой на координаты.
- Аргументируют выбор масштаба и способ описания зависимости.
- Корректно обсуждают ошибки партнёра и предлагают конкретный способ исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с координатной плоскостью, таблицей данных и двумя графиками: корректным и искажённым из-за неудачного масштаба.
- Распечатать карточки с таблицами данных трёх уровней — по одной карточке на каждого ученика, всего 30 экземпляров.
- Распечатать чек-лист построения графика — по одному на каждого ученика.
- Подготовить листы в клетку или миллиметровую бумагу — по одному листу на каждого ученика.
- Подготовить цветные стикеры двух цветов — по два на каждого ученика для обозначения уверенности и затруднений.
- Вывести на доску памятку: «Оси — единицы — масштаб — точки — подписи — вывод».
- Подготовить таймер и калькуляторы по необходимости; вычисления в заданиях должны быть доступны без сложных расчётов.
- Предусмотреть проектор или интерактивную доску, маркеры, линейку на каждую парту и магнитные карточки с названиями величин.
- Подготовить карточку межпредметного контекста: изменение температуры воздуха в течение дня и изменение расстояния при движении велосипеда.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность через реальную ситуацию, в которой график помогает быстро понять данные.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране таблицу: время наблюдения — 8, 10, 12, 14, 16 часов; температура — 10, 14, 18, 17, 13 °C. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем работать не только с числами, но и с информацией, которую нужно быстро понять. Посмотрите на таблицу: можно ли за несколько секунд определить, когда температура была максимальной и как она менялась в течение дня?» | Рассматривают таблицу, называют предварительный ответ: «Максимальная температура была в 12 часов, затем она снизилась». Формулируют, что таблицу приходится просматривать последовательно. |
2 мин | Учитель показывает рядом график тех же данных. «Теперь взгляните на график. Что стало заметно сразу? Почему график может быть удобнее таблицы? Сегодня вы сами научитесь превращать таблицу в график и использовать его как модель реального процесса». Учитель называет приём «Крючок» и фиксирует на доске проблемный вопрос: «Как по графику описать зависимость величин?» | Сравнивают таблицу и график, высказывают предположения: «На графике виден подъём и спад», «легче найти максимум», «можно увидеть общий характер изменения». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что график помогает быстро обнаружить изменение величины. Теперь вспомним, какие элементы нужны для построения координатного графика и как не допустить ошибки».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания о координатной плоскости, координатах точки и масштабе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает координатную плоскость. «Назовите горизонтальную и вертикальную оси. Какую величину обычно откладывают по горизонтальной оси, а какую — по вертикальной? Что обязательно подписывают возле осей?» Учитель принимает ответы и уточняет, что выбор зависит от смысла задачи. | Отвечают: «Горизонтальная ось — ось абсцисс, вертикальная — ось ординат». Формулируют: «По горизонтали обычно откладывают независимую величину, по вертикали — зависимую». Называют необходимость подписать величину и единицу измерения. |
2 мин | Учитель записывает на доске точки $A(2;3)$ и $B(5;1)$. «Подумайте в паре: сколько шагов нужно пройти от начала координат до каждой точки и в каком порядке записываются координаты? Покажите пальцами, какая координата первая». | В течение 30 секунд думают индивидуально, затем обсуждают в паре. Отвечают: «Сначала движение по оси абсцисс, затем по оси ординат; у точки $A$ сначала 2, затем 3, у точки $B$ — 5 и 1». |
1 мин | Учитель демонстрирует два варианта разметки оси: равномерную и неравномерную. «Какой вариант позволит честно сравнивать данные? Почему расстояния между соседними делениями должны быть одинаковыми?» | Отмечают корректную разметку и объясняют: «Одинаковым числовым промежуткам должны соответствовать одинаковые расстояния». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили координаты точки, назначение осей и требование к масштабу. Теперь выясним, какие шаги нужно выполнить, чтобы таблица превратилась в понятный график».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать алгоритм построения и чтения графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт таблицу: расстояние от дома при движении велосипедиста: время 0, 1, 2, 3, 4 мин; расстояние 0, 200, 450, 700, 900 м. «Попробуйте быстро объяснить, как построить по этим данным график. Что нужно сделать сначала? Что может вызвать затруднение?» Учитель записывает ответы в виде кластера. | Предлагают шаги: «Выбрать оси», «подписать величины», «выбрать масштаб», «нанести точки», «соединить точки». Называют затруднение: «Нужно решить, сколько метров обозначает одна клетка или деление». |
2 мин | Учитель направляет обсуждение: «Сформулируйте цель урока так, чтобы в ней было понятно, что вы должны уметь сделать к концу занятия. Какие слова подойдут: построить, прочитать, описать, проверить?» Учитель фиксирует итоговую цель и критерии успеха на доске. | Формулируют цель: «Научиться строить график по таблице, читать его и описывать изменение величин». Записывают или проговаривают критерии: «Правильные оси и масштаб, нанесённые точки, подписи и вывод». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проблема ясна: мало нанести несколько точек, нужно правильно организовать всю модель данных. Сейчас мы выведем алгоритм и применим его к конкретной ситуации».
Этап 4. Открытие нового знания и межпредметная связь (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм построения и чтения графика на материале, связанном с физикой и географией.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает таблицу изменения температуры воздуха: время 6, 9, 12, 15, 18 часов; температура 8, 12, 17, 16, 11 °C. «Это межпредметная задача на стыке математики, физики и географии. Представьте, что метеоролог наблюдает температуру в течение дня. Сначала определим, что откладываем по каждой оси. Затем выберем масштаб: по горизонтали 1 деление — 3 часа, по вертикали 1 деление — 2 °C. Почему нельзя смешивать единицы и почему масштаб по двум осям может быть разным?» | Называют независимую величину «время» и зависимую «температура». Записывают названия осей и единицы измерения. Объясняют, что каждая ось должна иметь собственный понятный масштаб. |
4 мин | Учитель поэтапно строит график на доске. «Шаг первый — проводим и подписываем оси. Шаг второй — выбираем равномерный масштаб. Шаг третий — наносим пары значений как точки: $(6;8)$, $(9;12)$, $(12;17)$, $(15;16)$, $(18;11)$. Шаг четвёртый — соединяем точки отрезками, если наблюдение описывает изменение во времени. Шаг пятый — даём название графику и формулируем вывод». Учитель специально допускает ошибку в координате $(15;16)$ и предлагает её обнаружить. | Следят за построением, называют координаты точек и находят ошибку: «В точке с временем 15 часов температура должна быть 16 °C; координаты записываются в порядке время, температура». Формулируют вывод: «Температура росла с 6 до 12 часов, затем снижалась». |
2 мин | Учитель задаёт вопросы на анализ. «На каком промежутке температура возрастала? На каком снижалась? В какой момент достигнут максимум? Можно ли утверждать, что между 12 и 15 часами температура оставалась постоянной? Обоснуйте ответ по графику». | Отвечают: «С 6 до 12 часов температура возрастала, с 12 до 18 — снижалась; максимум 17 °C был в 12 часов; постоянной температура не была, потому что график наклонён вниз». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают алгоритм: 1) определить величины и подписать оси; 2) выбрать равномерный масштаб и указать единицы измерения; 3) нанести точки по таблице; 4) соединить точки, если это соответствует ситуации; 5) озаглавить график; 6) описать изменение величин и проверить результат по таблице.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы построили график и научились читать его участки. Теперь применим алгоритм самостоятельно, а затем сравним решения и проверим их по критериям».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм построения графика и развить умение объяснять выбор масштаба.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель распределяет роли и объясняет приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Один ученик строит график, второй проверяет оси, масштаб и координаты. Через три минуты вы поменяетесь ролями при проверке вывода. Не просто исправляйте ошибку, а объясняйте, почему она возникла». | Распределяют роли, получают карточку с данными: время 0, 2, 4, 6, 8 мин; объём воды 0, 300, 500, 500, 700 мл. |
4 мин | Учитель наблюдает и задаёт уточняющие вопросы: «Что откладываете по горизонтали? Какой масштаб позволит разместить все значения? Как обозначите участок, на котором объём не менялся? Проверьте координаты второй и четвёртой точек». | Строят график на листе в клетку, подписывают оси и единицы, наносят точки $(0;0)$, $(2;300)$, $(4;500)$, $(6;500)$, $(8;700)$. Обозначают горизонтальный участок от 4 до 6 минут. |
2 мин | Учитель просит две пары представить результат. «Сравните ваши графики. Если масштабы разные, но оба равномерные и подписанные, могут ли оба решения быть верными? Назовите обязательные признаки корректного графика». | Две пары показывают графики и формулируют: «Масштабы могут отличаться, если они равномерные, подписаны и позволяют точно нанести данные». Называют оси, единицы, точки, заголовок и вывод. |
Эталон решения
По горизонтальной оси откладываем время в минутах, по вертикальной — объём воды в миллилитрах. Наносим точки $(0;0)$, $(2;300)$, $(4;500)$, $(6;500)$, $(8;700)$. Соединяем соседние точки. На промежутке от 0 до 4 минут объём увеличивается, от 4 до 6 минут не изменяется, от 6 до 8 минут снова увеличивается.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Построение становится понятным, когда каждый шаг проверяется отдельно. Мы увидели, что горизонтальный участок графика означает постоянство величины. Теперь каждый выполнит индивидуальную работу и покажет, насколько уверенно применяет алгоритм».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение строить и анализировать график по данным.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и предоставляет выбор. «Выберите базовый, повышающий или дополнительный вариант. Базовый вариант обязателен для всех; можно перейти на более высокий уровень, если готовы. Перед началом прочитайте критерии на чек-листе: оси, масштаб, точки, подписи и вывод». | Выбирают уровень, получают карточки и отмечают выбранный вариант в чек-листе. |
5 мин | Учитель предлагает базовую задачу: построить график зависимости пройденного пути от времени по данным: время 0, 1, 2, 3, 4 ч; путь 0, 60, 120, 180, 240 км. Для повышенного варианта добавляет вопрос: «Опишите зависимость и предскажите путь через 5 часов, если движение продолжится с той же скоростью». Для дополнительного варианта: «Предложите другой масштаб и объясните, почему он удобен». | Индивидуально строят график, подписывают оси и единицы. Формулируют вывод: «Путь равномерно увеличивается». В повышенном варианте находят 300 км; в дополнительном обосновывают выбор масштаба. |
3 мин | Учитель выводит эталон на экран и проводит самопроверку. «Поставьте плюс напротив каждого выполненного пункта. Если обнаружили ошибку, аккуратно исправьте её другим цветом. Ошибка — это информация для коррекции, а не повод прекращать работу». | Сверяют масштаб, точки $(0;0)$, $(1;60)$, $(2;120)$, $(3;180)$, $(4;240)$ и вывод. Отмечают результат по чек-листу, исправляют неточности. |
Эталон решения
По оси $x$ откладываем время в часах, по оси $y$ — путь в километрах. Наносим точки $(0;0)$, $(1;60)$, $(2;120)$, $(3;180)$, $(4;240)$. Точки лежат на возрастающей прямой: за каждый час путь увеличивается на 60 км. При сохранении скорости через 5 часов путь составит $60 \cdot 5 = 300$ км.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что график нужно не только построить, но и проверить по исходным данным. Осталось зафиксировать, что именно каждый из вас сегодня освоил и какие вопросы требуют дальнейшей тренировки».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: обобщить способы работы с графиком, провести самооценку и объяснить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт стикеры и предлагает приём «Билет на выход». «На зелёном стикере запишите один алгоритм или вывод, который вы теперь можете объяснить. На жёлтом — вопрос или шаг, который пока требует тренировки. Дополните фразу: “По графику я могу определить...”». | Записывают индивидуальные ответы: «По графику я могу определить, когда величина возрастает, убывает или постоянна». Прикрепляют стикеры в соответствующие зоны на доске. |
2 мин | Учитель проводит устную проверку. «Что означает горизонтальный участок? Что произойдёт, если нарушить равномерность масштаба? Почему нельзя подписывать ось только буквой без единицы измерения?» | Отвечают: «Горизонтальный участок означает постоянство величины», «неравномерный масштаб искажает данные», «без единицы измерения значение может быть непонятно». |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание и показывает таблицу уровней. «Выберите уровень осознанно: обязательный вариант выполняют все, повышающий помогает потренироваться, дополнительный предлагает создать собственный пример. На следующем уроке мы используем ваши графики для более подробного сравнения зависимостей». | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, задают уточняющие вопросы по формату графика. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы научились превращать таблицу в график и читать график как модель реальной зависимости. Проверьте дома не только точки, но и смысл выбранного масштаба. На следующем уроке мы продолжим сравнивать зависимости и анализировать данные по их графическому представлению».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — график построен полностью: корректно подписаны обе оси и единицы измерения, выбран равномерный масштаб, все точки нанесены верно, сделан содержательный вывод об изменении величин; для повышенного или дополнительного варианта дано аргументированное объяснение.
- «4» — график в целом построен верно, но допущена одна неточность в подписи, масштабе или формулировке вывода, не повлиявшая на основное понимание зависимости.
- «3» — нанесена большая часть точек и определено общее направление изменения величины, но имеются две или более ошибки в масштабе, координатах, подписях либо выводе.
- «2» — график не позволяет восстановить зависимость: отсутствуют оси, масштаб или большинство координатных точек; ученик не может объяснить результат даже после подсказки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о построении графика по таблице? | Выявление осознания алгоритма построения и его отдельных шагов. |
Как по графику определить, на каком промежутке величина возрастает, убывает или не изменяется? | Проверка понимания связи между формой участка графика и изменением величины. |
Какая ошибка при построении графика оказалась наиболее вероятной для вас? | Выявление типичных точек затруднения: масштаб, порядок координат, подписи или вывод. |
Насколько уверенно вы сможете построить график по новой таблице: уверенно, с небольшой помощью или пока затрудняюсь? | Субъективная самооценка и планирование последующей дифференцированной поддержки. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы увидели, что график — это не рисунок ради рисунка, а способ быстро представить и исследовать зависимость величин. Вы научились выбирать оси и масштаб, наносить точки, читать участки графика и подтверждать вывод исходными данными. Помните о типичной ошибке: нельзя соединять точки и делать вывод, если неправильно подписаны величины или нарушен масштаб. Дома закрепите алгоритм на выбранном уровне. На следующем уроке мы будем сравнивать несколько графиков и анализировать, какие выводы можно и нельзя делать по данным».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Построить 2 графика зависимостей по таблицам: изменение температуры в течение дня и пройденный путь во времени; для каждого указать величины на осях, единицы измерения и написать 2–3 предложения о характере изменения. | Закрепляет алгоритм построения и чтения графика; при проверке обратить внимание на равномерность масштаба, координаты точек и содержательность вывода. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи по готовым графикам: найти значение величины в заданный момент, определить промежуток возрастания или убывания, восстановить пропущенное значение в таблице. | Развивает читательскую и математическую грамотность; при проверке смотреть, связывает ли ученик координаты с единицами измерения и обосновывает ли ответ. |
Продвинутый (дополнительный) | Собрать 6–8 наблюдений из реальной жизни или открытого источника, представить их в таблице и построить график. Написать вывод, указать возможную ошибку измерения и объяснить выбор масштаба. | Формирует умение самостоятельно моделировать ситуацию и критически оценивать данные; при проверке учитывать корректность источника, масштаба, подписей и аргументации. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что откладывают по горизонтальной и вертикальной осям? Какие элементы обязательны на графике? Что означает горизонтальный участок? Почему масштаб должен быть равномерным? Как проверить график по исходной таблице?»
