Неравенства, содержащие знак модуля
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать и решать неравенства вида $|x|<a$, $|x|>a$ и простейшие неравенства вида $|x-b|<a$, записывая ответ в виде двойного неравенства или объединения промежутков, и выполнить не менее 4 из 5 тренировочных заданий без принципиальных ошибок.
- Сформировать представление о геометрическом смысле модуля как расстояния от точки до нуля или другого числа на координатной прямой.
- Научить применять правила раскрытия знака модуля при решении неравенств и проверять полученный ответ на координатной прямой.
- Развивать умение выбирать способ решения, объяснять ход рассуждений и находить ошибки в готовом решении.
- Показать связь темы с заданиями ОГЭ и снизить тревожность за счёт пошагового алгоритма и разноуровневой практики.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик осознаёт практическую ценность умения работать с модулем при подготовке к ОГЭ и дальнейшем изучении математики.
- Проявляет готовность спокойно разбирать ошибку и воспринимать её как источник дальнейшего обучения.
- Формирует ответственное отношение к самостоятельной проверке результата.
- Развивает уверенность в возможности решить задание после выделения алгоритма действий.
Метапредметные
- Умеет извлекать необходимую информацию из условия задания и преобразовывать её в математическую модель.
- Планирует последовательность решения, контролирует промежуточные действия и корректирует ошибочный шаг.
- Сотрудничает в паре, формулирует вопрос и аргументирует выбор способа решения.
- Использует координатную прямую как графическую модель и проверяет соответствие ответа условию.
Предметные
- Знать геометрический смысл выражения $|x-a|$ как расстояния между точками $x$ и $a$ на координатной прямой.
- Уметь решать неравенства вида $|x|<a$ и $|x|\leq a$ через двойное неравенство.
- Уметь решать неравенства вида $|x|>a$ и $|x|\geq a$ как объединение двух промежутков.
- Уметь решать простейшие неравенства вида $|x-b|<a$ и $|x-b|>a$.
- Уметь изображать множество решений на координатной прямой и записывать ответ с помощью промежутков.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться уверенно решать тип задания, встречающийся в экзаменационной практике.
- Осознают значение аккуратной записи и проверки ответа.
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе уровня сложности карточки.
- Оценивают собственное продвижение по критериям, предложенным учителем.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемного задания.
- Составляют и применяют алгоритм решения неравенств с модулем.
- Сверяют решение с эталоном и находят место возникновения ошибки.
- Оценивают результат по числу верно выполненных заданий и планируют повторение.
Познавательные УУД
- Сравнивают случаи «расстояние меньше» и «расстояние больше».
- Устанавливают связь между записью с модулем, двойным неравенством и изображением на прямой.
- Классифицируют задания по виду знака неравенства.
- Моделируют условие с помощью координатной прямой и проверочных точек.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, почему при знаке «меньше» получается промежуток, а при знаке «больше» — два луча.
- Задают уточняющие вопросы к решению.
- Согласовывают общий ответ в игровой парной работе.
- Аргументированно исправляют ошибку в предложенном решении.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или доску с координатной прямой, точками $-3$, $0$, $3$ и напоминанием о смысле модуля как расстояния.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: зелёные — базовые, жёлтые — повышающие, красные — продвинутые; по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить карточки игры «Математический светофор»: 6 карточек с неравенствами и 6 карточек с ответами.
- Распечатать лист самопроверки с алгоритмом: определить вид, убрать модуль, изобразить ответ, проверить точку.
- Подготовить по одному листу координатной прямой на парту и маркеры или карандаши.
- Вывести на доску формулы: $|x|<a\Leftrightarrow -a<x<a$ и $|x|>a\Leftrightarrow x<-a$ или $x>a$, где $a>0$.
- Подобрать из учебника задания на неравенства с модулем без указания номеров страниц; предусмотреть 3 базовых, 2 повышающих и 1 олимпиадный пример.
- Подготовить таймер на 3 и 5 минут, проектор или интерактивную доску.
- Раздать каждому ученику мини-билет на выход с двумя вопросами.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу, показать связь темы с заданиями ОГЭ и создать проблемную ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, линейка и учебник должны лежать перед вами. Сегодня мы будем не просто слушать правило, а большую часть времени решать и проверять задания. В конце урока каждый поймёт, какой алгоритм помогает справляться с неравенствами с модулем." | Проверяют принадлежности, записывают дату, готовятся к работе. |
2 мин | Учитель показывает на доске задания $|x|<3$ и $|x|>3$: "Представьте, что это два задания из тренировочного варианта ОГЭ. Как быстро понять, где находятся решения? Можно ли ответить, опираясь на смысл слова «модуль», ещё до изучения полного алгоритма? Подумайте самостоятельно 30 секунд, затем обсудите с соседом." | Рассматривают задания, обсуждают в парах, высказывают предположения: "В первом случае нужны числа, близкие к нулю", "Во втором — числа, удалённые от нуля". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что знак неравенства задаёт расстояние: либо точка находится близко к центру, либо далеко от него. Теперь проверим, какие знания помогут нам описать это точно."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания о модуле, координатной прямой, промежутках и знаках неравенств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит блиц-опрос: "Что называется модулем числа? Чему равны $|5|$ и $|-5|$? Как обозначается расстояние между точками $0$ и $-5$?" На доске фиксирует ответы: $|a|\geq0$, $|5|=5$, $|-5|=5$. | Отвечают: "Модуль — расстояние от числа до нуля", "$|5|=5$", "$|-5|=5$". Записывают определения и примеры. |
3 мин | Учитель предлагает отметить на прямой промежутки $[-2;4)$ и $(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)$: "Какой кружок ставим у включённой границы? Что означает объединение?" | Изображают промежутки, используют закрашенную точку для включённой границы и пустую для невключённой, объясняют: "Объединение означает, что подходит хотя бы один из двух промежутков". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили модуль, расстояние и запись промежутков. Осталось понять, как перевести фразу о расстоянии в точное неравенство и не перепутать один промежуток с двумя."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать алгоритм будущей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает проблемную задачу: "На координатной прямой найдите все точки, расстояние от которых до нуля меньше 3. Запишите ответ с помощью неравенства. Теперь найдите точки, расстояние от которых до нуля больше 3. Почему в одном случае получается один участок, а в другом — два?" | Изображают точки между $-3$ и $3$, формулируют: "$-3<x<3$". Для второго случая называют два направления: "$x<-3$ или $x>3$". |
2 мин | Учитель спрашивает: "Какие шаги нам нужны, чтобы решать не только эти примеры, но и задания $|x-2|\leq4$ или $|x+1|>2$? Сформулируйте цель урока и порядок действий." Учитель записывает на доске предложения учащихся. | Формулируют цель: "Научиться решать неравенства с модулем"; называют план: распознать вид, преобразовать, изобразить решение, проверить. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: научиться уверенно переходить от модуля к промежуткам и проверять себя графически. Начнём с двух основных случаев."
Этап 4. Открытие нового знания и работа с учебником (9 мин)
Цель этапа: вывести правила решения неравенств с модулем через геометрический смысл и закрепить их на типовых примерах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель обращается к классу: "Откройте учебник на теме урока и найдите формулировку, связанную с неравенством $|x|<a$. Посмотрите на координатную прямую. Если расстояние от $x$ до нуля меньше $a$, между какими числами находится $x$?" Учитель демонстрирует схему и записывает $|x|<a\Leftrightarrow-a<x<a$. | Читают соответствующий фрагмент, рассматривают схему, формулируют: "Число находится между $-a$ и $a$". Записывают правило. |
3 мин | Учитель продолжает: "Теперь рассмотрим $|x|>a$. Расстояние больше $a$ означает, что точка находится левее $-a$ или правее $a$. Поэтому получаем объединение двух промежутков: $x<-a$ или $x>a$. Обратите внимание: при строгом знаке границы не входят." | Строят прямую для $|x|>2$, записывают $x<-2$ или $x>2$, поясняют, почему используются два луча. |
3 мин | Учитель показывает примеры: $|x-2|<4$ и $|x+1|>2$: "В выражении $|x-b|$ модуль показывает расстояние от точки $x$ до числа $b$. Запишите решение первого неравенства как $-4<x-2<4$, затем прибавьте 2. Второе разберите по двум лучам." | В тетрадях решают: $-4<x-2<4$, $-2<x<6$; для второго: $x+1<-2$ или $x+1>2$, значит $x<-3$ или $x>1$. |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) определить центр расстояния и радиус; 2) выбрать правило по знаку неравенства; 3) выполнить преобразования; 4) изобразить ответ на прямой; 5) проверить по одной точке из каждого промежутка.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели два главных случая: «меньше» даёт промежуток внутри границ, а «больше» — внешнюю часть прямой. Теперь проверим, насколько быстро этот алгоритм работает в игре."
Этап 5. Первичное закрепление. Игра «Математический светофор» (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание вида неравенства и выбор правильного способа решения в парной работе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет правила: "Каждая пара получает карточку с неравенством и три варианта ответа. За 2 минуты выберите ответ, изобразите его на прямой и подготовьте объяснение. Зелёная карточка означает базовый уровень, жёлтая — повышенный. После сигнала одна пара объясняет решение, остальные показывают карточку: зелёная — согласен, жёлтая — есть вопрос, красная — нашёл ошибку." | В парах решают карточку, строят координатную прямую, выбирают вариант ответа и готовят объяснение. |
3 мин | Учитель раздаёт задания: $|x-1|\leq3$; $|x+2|>1$; $|2x-4|<6$. Просит проговаривать каждый шаг: "Не называйте только ответ. Объясните, где центр и как изменяется граница." | Решают: $-2\leq x\leq4$; $x<-3$ или $x>-1$; $-1<x<5$. Представители пар объясняют ход решения. |
2 мин | Учитель показывает типичную ошибку: из $|x|>3$ получено $-3<x<3$: "Поднимите карточку, если согласны с решением. Найдите ошибку и исправьте её, используя смысл расстояния." | Показывают красную карточку, объясняют: "При расстоянии больше 3 точки находятся вне отрезка, поэтому $x<-3$ или $x>3$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы научились отличать внутреннюю область от внешней и обнаружили главную ловушку — неправильное направление решения. Теперь каждый выполнит работу самостоятельно и проверит себя по эталону."
Этап 6. Самостоятельная разноуровневая работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма на заданиях разной сложности и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает выбор: "Выполните обязательный зелёный уровень. Если справляетесь уверенно, переходите к жёлтому, а затем к красному. Оценка зависит не от цвета карточки, а от правильности рассуждения. Работайте самостоятельно, время — 6 минут." | Выбирают карточку, записывают решение и изображают ответы на координатной прямой. |
6 мин | Учитель наблюдает, задаёт направляющие вопросы: "Какое расстояние описывает модуль? Граница входит в ответ или нет? Что означает знак «больше» на прямой?" Не сообщает готовый ответ. | Решают задания. Зелёный уровень: $|x|<5$, $|x-3|\geq2$. Жёлтый: $|2x+1|<7$, $|x+4|>3$. Красный: $|3x-6|\geq9$. |
3 мин | Учитель открывает эталон на доске и просит провести самопроверку: "Сначала сравните преобразование модуля, затем границы и направление штриховки. Ошибку исправьте другим цветом и подпишите её причину." | Проверяют решения, исправляют ошибки, подсчитывают количество верных заданий и отмечают в листе: «могу сам», «нужна тренировка», «нужна помощь». |
Эталон решения
$|x|<5\Rightarrow-5<x<5$. $|x-3|\geq2\Rightarrow x-3\leq-2$ или $x-3\geq2$, поэтому $x\leq1$ или $x\geq5$. $|2x+1|<7\Rightarrow-7<2x+1<7\Rightarrow-8<2x<6\Rightarrow-4<x<3$. $|x+4|>3\Rightarrow x+4<-3$ или $x+4>3$, поэтому $x<-7$ или $x>-1$. $|3x-6|\geq9\Rightarrow3x-6\leq-9$ или $3x-6\geq9$, поэтому $x\leq-1$ или $x\geq5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже применим без подсказки. Ошибки чаще всего связаны не с вычислениями, а с выбором внутренней или внешней области. Закрепим это на коротком задании в формате экзамена."
Этап 7. Включение в систему знаний. Мини-практикум ОГЭ (4 мин)
Цель этапа: применить новое правило в приближенном к экзаменационному формате и объяснить выбор ответа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: "Решите неравенство $|x-5|<2$ и выберите запись ответа: 1) $(-\infty;3)\cup(7;+\infty)$; 2) $(3;7)$; 3) $[-2;2]$. Запишите не только номер, но и преобразование." | Решают $-2<x-5<2$, получают $3<x<7$, выбирают второй вариант и объясняют его. |
2 мин | Учитель спрашивает: "Как можно быстро проверить ответ? Возьмите точку 5 и точки 2 и 8. Какие из них удовлетворяют условию?" | Подставляют точки: $|5-5|=0<2$, значит 5 входит; $|2-5|=3>2$ и $|8-5|=3>2$, значит 2 и 8 не входят. Подтверждают интервал $(3;7)$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы решили задачу в экзаменационном формате и подтвердили ответ проверкой точками. Осталось оценить собственное продвижение и зафиксировать, что нужно повторить дома."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осмыслить результат, выявить затруднения и сообщить разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Ответьте письменно на два вопроса: какое правило помогает решить $|x|<a$ и чем отличается ответ для $|x|>a$? Какое действие вы обязательно выполните для проверки?" | Пишут краткие ответы: "$|x|<a$ даёт $-a<x<a$; $|x|>a$ даёт два луча; нужно изобразить ответ и проверить точку". |
1 мин | Учитель предлагает приём «Светофор»: "Покажите цвет: зелёный — могу решить самостоятельно, жёлтый — понимаю правило, но ошибаюсь в преобразованиях, красный — нужна помощь." | Показывают карточку выбранного цвета и формулируют личное затруднение. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень по результату сегодняшней работы. Не забудьте: в каждом решении должны быть преобразование, координатная прямая и проверка." | Записывают задание, задают уточняющие вопросы, сдают билет на выход. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все 5 предложенных неравенств, корректно выбраны границы промежутков, выполнено изображение на координатной прямой и приведена проверка хотя бы одного ответа.
- «4» — верно решены 4 задания; допущена одна вычислительная или графическая неточность, не повлиявшая на общий способ решения.
- «3» — верно решены 3 задания базового уровня; алгоритм в основном понятен, но есть ошибки в направлении промежутков или включении границ.
- «2» — верно решены менее 3 заданий либо не распознан способ раскрытия модуля; требуется индивидуальная коррекция алгоритма.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связи модуля и расстояния на координатной прямой? | Выявление осознания геометрического смысла нового правила. |
Почему при $|x|<a$ получается один промежуток, а при $|x|>a$ — два луча? | Проверка понимания ключевого различия двух типов неравенств. |
На каком шаге алгоритма вы сегодня ошибались чаще всего? | Выявление конкретной точки затруднения для последующей коррекции. |
Какой уровень домашнего задания вы готовы выполнить самостоятельно и почему? | Формирование адекватной самооценки и учебной ответственности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть в модуле расстояние и переводить условие в промежутки на координатной прямой. Запомните главный ориентир: «меньше» означает близко к центру, а «больше» — далеко от центра. Самая частая ошибка — заменить $|x|>a$ двойным неравенством внутри отрезка, поэтому обязательно проверяйте направление лучей. На следующем уроке мы продолжим решать более сложные неравенства с модулем и потренируемся выбирать способ решения в заданиях экзаменационного формата."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 неравенства вида $|x|<a$, $|x|>a$, $|x-b|\leq a$ и $|x-b|\geq a$ с положительными целыми параметрами; для каждого изобразить множество решений на координатной прямой. | Закрепляет два основных правила и аккуратную работу с границами; при проверке обратить внимание на направление промежутка и лучей. |
Средний (повышающий) | Решить 5 неравенств вида $|kx+b|<c$ или $|kx+b|\geq c$, включая случаи с отрицательным коэффициентом; выполнить проверку одной точки из полученного множества и одной точки вне его. | Формирует умение преобразовывать линейное выражение под модулем и контролировать знак при делении на число. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить 2 собственных неравенства с модулем: одно с решением в виде одного промежутка, другое — в виде объединения двух лучей. Для каждого объяснить, почему выбран именно такой знак неравенства. | Развивает создание математической модели и понимание обратной связи между условием и множеством решений. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что означает $|x-b|$? Как решается $|x-b|<a$? Как решается $|x-b|>a$? Как проверить, что найденный промежуток действительно является ответом?»
